2016-2017学年重庆市六校联考高一上期末数学试卷（含答案解析）

2016-2017学年重庆市六校联考高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）=（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合M={1，2}，N={2，3，4}，若P=M∪N，则P的子集个数为（）A．14B．15C．16D．323．（5分）已知函数f（x）=，若f（﹣1）=f（1），则实数a的值为（）A．1B．2C．0D．﹣14．（5分）若函数f（x）=ax2﹣bx+1（a≠0）是定义在R上的偶函数，则函数g（x）=ax3+bx2+x（x∈R）是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数5．（5分）设a=log2，b=（）3，c=3，则（）A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．b＜a＜c6．（5分）已知tan（α﹣β）=，tan（﹣β）=，则tan（α﹣）等于（）A．B．C．D．7．（5分）方程x﹣logx=3和x﹣logx=3的根分别为α，β，则有（）A．α＜βB．α＞βC．α=βD．无法确定α与β大小8．（5分）函数f（x）=2sin（2x+）的图象为M，则下列结论中正确的是（）A．图象M关于直线x=﹣对称B．由y=2sin2x的图象向左平移得到MC．图象M关于点（﹣，0）对称D．f（x）在区间（﹣，）上递增9．（5分）函数y=sin2（x﹣）的图象沿x轴向右平移m个单位（m＞0），所得图象关于y轴对称，则m的最小值为（）A．πB．C．D．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，若实数a满足f（3|2a+1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，+∞）D．（﹣，﹣）11．（5分）已知α∈[，]，β∈[﹣，0]，且（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，8β3+2cos2β+1=0，则sin（+β）的值为（）A．0B．C．D．112．（5分）若区间[x1，x2]的长度定义为|x2﹣x1|，函数f（x）=（m∈R，m≠0）的定义域和值域都是[a，b]，则区间[a，b]的最大长度为（）A．B．C．D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13．（5分）计算：log3+lg4+lg25+（﹣）0=．14．（5分）已知扇形的面积为4cm2，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的弧长为．15．（5分）若α∈（0，π），且cos2α=sin（+α），则sin2α的值为．16．（5分）已知正实数x，y，且x2+y2=1，若f（x，y）=，则f（x，y）的值域为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U=R，函数的定义域为集合A，集合B={x|5≤x＜7}（1）求集合A；（2）求（∁UB）∩A．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，其终边经过点P（2，4）．（1）求tanα的值；（2）求的值．19．（12分）已知二次函数f（x）=mx2+4x+1，且满足f（﹣1）=f（3）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的定义域为（﹣2，2），求f（x）的值域．20．（12分）已知函数f（x）=sin2ωx+2cosωxsinωx+sin（ωx+）sin（ωx﹣）（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间（0，π）上的单调增区间．21．（12分）已知函数f（x）=log2（）﹣x（m为常数）是奇函数．（1）判断函数f（x）在x∈（，+∞）上的单调性，并用定义法证明你的结论；（2）若对于区间[2，5]上的任意x值，使得不等式f（x）≤2x+m恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，若f（）=﹣．（1）求a的值，并写出函数f（x）的最小正周期（不需证明）；（2）是否存在正整数k，使得函数f（x）在区间[0，kπ]内恰有2017个零点？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．2016-2017学年重庆市六校联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）=（）A．B．C．D．【解答】解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣故选D．2．（5分）已知集合M={1，2}，N={2，3，4}，若P=M∪N，则P的子集个数为（）A．14B．15C．16D．32【解答】解：集合M={1，2}，N={2，3，4}，则P=M∪N={1，2，3，4}，∴P的子集有24=16个．故答案为：C．3．（5分）已知函数f（x）=，若f（﹣1）=f（1），则实数a的值为（）A．1B．2C．0D．﹣1【解答】解：∵函数f（x）=，f（﹣1）=f（1），∴f（﹣1）=1﹣（﹣1）=2，f（1）=a，∵f（﹣1）=f（1），∴a=2．故选：B．4．（5分）若函数f（x）=ax2﹣bx+1（a≠0）是定义在R上的偶函数，则函数g（x）=ax3+bx2+x（x∈R）是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数【解答】解：f（x）为偶函数，则b=0；∴g（x）=ax3+x；∴g（﹣x）=a（﹣x）3﹣x=﹣（ax3+x）=﹣g（x）；∴g（x）是奇函数．故选A．5．（5分）设a=log2，b=（）3，c=3，则（）A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．b＜a＜c【解答】解：a=log2＜0，b=（）3∈（0，1），c=3＞1．∴c＞b＞a．故选：B．6．（5分）已知tan（α﹣β）=，tan（﹣β）=，则tan（α﹣）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵tan（α﹣β）=，tan（﹣β）=，∴tan（α﹣）=tan[（α﹣β）﹣（﹣β）]===．故选：C．7．（5分）方程x﹣logx=3和x﹣logx=3的根分别为α，β，则有（）A．α＜βB．α＞βC．α=βD．无法确定α与β大小【解答】解：方程x﹣logx=3和x﹣logx=3，分别化为：log2x=3﹣x，log3x=3﹣x．作出函数图象：y=log2x，y=3﹣x，y=log3x．则α＜β．故选：A．8．（5分）函数f（x）=2sin（2x+）的图象为M，则下列结论中正确的是（）A．图象M关于直线x=﹣对称B．由y=2sin2x的图象向左平移得到MC．图象M关于点（﹣，0）对称D．f（x）在区间（﹣，）上递增【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+）的图象为M，令x=﹣，可得f（x）=0，可得图象M关于点（﹣，0）对称，故图象M不关于直线x=﹣对称，故C正确且A不正确；把y=2sin2x的图象向左平移得到函数y=2sin2（x+）=2sin（2x+）的图象，故B不正确；在区间（﹣，）上，2x+∈（0，π），函数f（x）=2sin（2x+）在区间（﹣，）上没有单调性，故D错误，故选：C．9．（5分）函数y=sin2（x﹣）的图象沿x轴向右平移m个单位（m＞0），所得图象关于y轴对称，则m的最小值为（）A．πB．C．D．【解答】解：函数y=sin2（x﹣）==的图象沿x轴向右平移m个单位（m＞0），可得y=的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得2m=（2k+1）•，k∈Z，即m═（2k+1）•，则m的最小值为，故选：D．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，若实数a满足f（3|2a+1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，+∞）D．（﹣，﹣）【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（3|2a+1|）＞f（﹣），等价为f（3|2a+1|）＞f（），∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴3|2a+1|＞，即2a+1＜﹣或2a+1＞，解得a＜﹣或a＞﹣，故选A．11．（5分）已知α∈[，]，β∈[﹣，0]，且（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，8β3+2cos2β+1=0，则sin（+β）的值为（）A．0B．C．D．1【解答】解：∵（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，可得：（α﹣）3﹣cos（）﹣2=0，即（﹣α）3+cos（）+2=0由8β3+2cos2β+1=0，得（2β）3+cos2β+2=0，∴可得f（x）=x3+cosx+2=0，其，x2=2β．∵α∈[，]，β∈[﹣，0]，∴∈[﹣π，0]，2β∈[﹣π，0]可知函数f（x）在x∈[﹣π，0]是单调增函数，方程x3+cosx+2=0只有一个解，可得，即，∴，那么sin（+β）=sin=．故选：B．12．（5分）若区间[x1，x2]的长度定义为|x2﹣x1|，函数f（x）=（m∈R，m≠0）的定义域和值域都是[a，b]，则区间[a，b]的最大长度为（）A．B．C．D．3【解答】解：函数f（x）=（m∈R，m≠0）的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．f（x）==﹣在区间[a，b]上时增函数，则有：，故a，b是方程f（x）=﹣=x的同号相异的实数根，即a，b是方程（mx）2﹣（m2+m）x+1=0同号相异的实数根．那么ab=，a+b=，只需要△＞0，即（m2+m）2﹣4m2＞0，解得：m＞1或m＜﹣3．那么：n﹣m==，故b﹣a的最大值为，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13．（5分）计算：log3+lg4+lg25+（﹣）0=．【解答】解：原式=+lg102+1=+2+1=．故答案为：．14．（5分）已知扇形的面积为4cm2，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的弧长为4cm．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===4．解得r=2，∴扇形的弧长为l=rα=2×2=4cm，故答案为：4cm．15．（5分）若α∈（0，π），且cos2α=sin（+α），则sin2α的值为﹣1．【解答】解：∵α∈（0，π），且cos2α=sin（+α），∴cos2α=2sin（+α），∴（cosα+sinα）•（cosα﹣sinα）=（cosα+sinα），∴cosα+sinα=0，或cosα﹣sinα=（不合题意，舍去），∴α=，∴2α=，∴sin2α=sin=﹣1，故答案为：﹣1．16．（5分）已知正实数x，y，且x2+y2=1，若f（x，y）=，则f（x，y）的值域为[，1）．【解答】解：x2+y2=1；∴=====；∵1=x2+y2≥2xy，且x，y＞0；∴；∴1＜1+2xy≤2；∴；∴；∴f（x，y）的值域为．故答案为：[，1）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U=R，函数的定义域为集合A，集合B={x|5≤x＜7}（1）求集合A；（2）求（∁UB）∩A．【解答】解：（1）由题意可得：；解得3≤x＜10；∴A={x|3≤x＜10}；（2）CUB={x|x＜5或x≥7}；∴（CUB）∩A={x|3≤x＜5或7≤x＜10}．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，其终边经过点P（2，4）．（1）求tanα的值；（2）求的值．【解答】解：（1）由任意角三角函数的定义可得：．（2）==．19．（12分）已知二次函数f（x）=mx2+4x+1，且满足f（﹣1）=f（3）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的定义域为（﹣2，2），求f（x）的值域．【解答】解：（1）由f（﹣1）=f（3）可得该二次函数的对称轴为x=1…（2分）即从而得m=﹣2…（4分）所以该二次函数的解析式为f（x）=﹣2x2+4x+1…（6分）（2）由（1）可得f（x）=﹣2（x﹣1）2+3…（9分）所以f（x