2016年全国高中数学联合竞赛加试(A)含答案解析(

2016年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次，不要增加其他中间档次.一、（本题满分40分）设实数122016,,,aaa满足21911(1,2,,2015)iiaai+=．求222212232015201620161()()()()aaaaaaaa−⋅−⋅⋅−⋅−的最大值．解令222212232015201620161()()()()Paaaaaaaa=−⋅−⋅⋅−⋅−．由已知得，对1,2,,2015i=，均有2221111109iiiiaaaa+++−−≥．若2201610aa−≤，则0S≤．…………………10分以下考虑2201610aa−的情况．约定20171aa=．由平均不等式得12016201620162220161111111()20162016iiiiiiiPaaaa++===≤−=−∑∑∑201620162016211111(1)20162016iiiiiiiaaaa====−=−∑∑∑…………………20分2201611(1)111201620162201644iiiaa=+−≤=⋅⋅=∑，所以201614P≤．…………………30分当12201612aaa====时，上述不等式等号成立，且有21911iiaa+(1,2,,2015)i=，此时201614P=．综上所述，所求最大值为201614．…………………40分二、（本题满分40分）如图所示，在△ABC中，,XY是直线BC上两点（,,,XBCY顺次排列），使得BXACCYAB．设△ACX，△ABY的外心分别为12,OO，直线12OO与,ABAC分别交于点,UV．证明：△AUV是等腰三角形．VUO2O1YBCAX证法一作BAC∠的内角平分线交BC于点P.设三角形ACX和ABY的外接圆分别为1ω和2ω.由内角平分线的性质知，BPABCPAC=.由条件可得BXABCYAC=.从而PXBXBPABBPPYCYCPACCP+===+，即CPPXBPPY⋅=⋅．…………………20分故P对圆1ω和2ω的幂相等，所以P在1ω和2ω的根轴上．……………30分于是12APOO⊥，这表明点,UV关于直线AP对称，从而三角形AUV是等腰三角形.…………………40分证法二设△ABC的外心为O，连接12,OOOO．过点12,,OOO分别作直线BC的垂线，垂足分别为12,,DDD．作1OKOD于点K．我们证明12OOOO．在直角三角形1OKO中，111sinOKOOOOK．由外心的性质，1OOAC．又ODBC，故1OOKACB．而1,DD分别是,BCCX的中点，所以11111222DDCDCDCXBCBX．因此111112sinsin2BXOKDDBXOORABOOKACBABR，这里R是△ABC的外接圆半径．同理2CYOORAC．…………………10分由已知条件可得BXCYABAC，故12OOOO．…………………20分由于1OOAC，所以1290AVUOOO．同理2190AUVOOO．…………………30分又因为12OOOO，故1221OOOOOO，从而AUVAVU．这样AUAV，即△AUV是等腰三角形．…………………40分KD2DD1OVUO2O1YBCAXPVUO2O1YACBX三、（本题满分50分）给定空间中10个点,其中任意四点不在一个平面上．将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值．解以这10个点为顶点,所连线段为边,得到一个10阶简单图G.我们证明G的边数不超过15．设G的顶点为1210,,,vvv，共有k条边，用deg()iv表示顶点iv的度.若deg()3iv≤对1,2,,10i=都成立，则10111deg()1031522iikv==≤××=∑．假设存在iv满足deg()4iv≥．不妨设1deg()4vn=≥，且1v与21,,nvv+均相邻．于是21,,nvv+之间没有边，否则就形成三角形．所以，121,,,nvvv+之间恰有n条边．…………10分对每个j（210nj+≤≤），jv至多与231,,,nvvv+中的一个顶点相邻（否则设jv与(),21stvvstn≤≤+相邻，则1,,,sjtvvvv就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾．），从而21,,nvv+与210,,nvv+之间的边数至多10(1)9nn−+=−条．…………20分在2,,nnvv+这9n−个顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，至多2(9)4n−条边．因此G的边数22(9)(9)25(9)9915444nnknn−−≤+−+=+≤+=．……30分如图给出的图共有15条边，且满足要求．综上所述，所求边数的最大值为15.…………………50分四、（本题满分50分）设p与2p+均是素数,3p．数列{}na定义为12a=,11nnnpaaan−−=+,2,3,n=．这里x表示不小于实数x的最小整数．证明：对3,4,,1np=−均有11nnpa−+成立．证明首先注意，{}na是整数数列．对n用数学归纳法．当3n=时，由条件知22ap=+，故()2211pap+=+．因p与2p+均是素数，且3p，故必须31p+．因此231pa+，即3n=时结论成立．对31np≤−，设对3,,1kn=−成立11kkpa−+，此时111kkpapakk−−+=，故22122111111kkkkkpapapapapakk−−−−−++=++=++−−()()2111kpapkk−++−=−．…………………10分故对31np≤−，有()()123112111112nnnpnpnpnpapapannn−−−+−+−+−+=+=⋅+−−−()21231123pnpnppann+−+−+==⋅⋅⋅+−−，………20分因此()()()12112nnpnnppaCpnp−+++=++．由此知（注意npnC+是整数）()()()121nnpnppa−+++．①…………………40分因np，p素数，故()(),,1nnpnp+==，又2p+是大于n的素数，故(),21np+=，从而n与()()2pnp++互素，故由①知11nnpa−+．由数学归纳法知，本题得证．…………………50分