2018年北京市高中数学竞赛高一年级复赛试题

高一年级试题（120分钟）一、填空题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）1．函数f(x)=23xx的值域是______．2．方程x2−31x+220=2x(31−2x−2x)所有实根的平方和等于______．3．边长等于10厘米的正六边形ABCDEF中，H为DE的中点，G为BC边上一点，且满足∠AGB=∠CGH，如图所示，则五边形AFEHG的面积是______平方厘米．4．已知甲、乙两个施工队各有若干工人，如果甲队借调给乙队90名工人，则乙队的工人总数将是甲队的2倍；如果乙队借调给甲队若干工人，则甲队的工人总数将是乙队的6倍．甲施工队原来最少有______名工人．5．在平面上有200个点，任何三个点都不共线，且每个点都标注了数1,2,3中的一个数，将标有不同数的所有点对都用线段连接，每条线段上都标注一个数1,2或3，这个数与该线段端点标注的数不同，结果呈现出写在平面上的三个数1,2或3中的每一个均恰有n次，则n的值是______．二、（满分15分）能够选出10个连续的偶数，且分它们为5个对子：(a1,b1),(a2,b2),(a3,b3),(a4,b4),(a5,b5)，使得方程x2+a1x+b1=0,x2+a2x+b2=0,x2+a3x+b3=0,x2+a4x+b4=0,x2+a5x+b5=0都具有整数根吗？如果能，试举一例；如果不能，请说明理由．三、（满分15分）D为锐角三角形ABC内一点，使得∠ADB=∠ACB+90°且AC·BD=AD·BC．延长AD，BD，CD分别交三角形ABC的外接圆于点G，E，F，如图所示．求证：（1）EF=FG；（2）1=EFGABC三角形的面积三角形外接圆的面积．四、（满分15分）（1）证明：2018可以表示为两个正整数的平方和．（2）证明：存在这样的三角形，可以把它分割为2018个全等的三角形．五、（满分15分）已知n元正整数集A={a1,a2,…,an}，对任意一个i{1,2,…,n}，由集合A去掉元素ai后得到的集合Ai可以分成两个不交的子集之并，且两子集元素之和相等，我们称这样的数集A为“好数集”．（1）求证：“好数集”的元素个数n是奇数；（2）求“好数集”的元素个数n的最小值．