高考数学复习-第一讲相似三角形的判断及有关性质

选修4-1几何证明选讲三相似三角形的判定和有关性质选修4-1几何证明选讲三相似三角形的判定和有关性质如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。复习三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.反比、合分比的性质P7三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似的系数).BACACB判定两个三角形相似的简单方法有三种：(1)两角对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(3)三边对应成比例,两三角形相似.BACACB如何证明？预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.AECBDEBACD判定定理1对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述:两角对应相等,两三角形相似CBA已知,如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A,∠B=∠B,求证:△ABC∽△ABCABCDE证明:在△ABC的边AB(或AB的延长线)上,截取AD=A’B’,过点D作DE//BC,交AC于点E.由预备定理得:△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B∴∠ADE=∠B∵∠A=∠A,AD=AB∴△ADE≌△ABC∴△ABC∽△ABCABCCBADE判定定理2对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似ABCCBADE已知:如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A,ACCAABBA''''求证:△ABC∽△ABC△ADE≌△ABCACCAABBA''''ACAEABADDE//BC△ABC∽△ADECBADE已知:如图△ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且ACAEABAD求证：DE//BCE证明:作DE//BC,交AC于EACAEABAD'ACAEABADACAEACAE'∴AE=AE因此E与点E重合即DE与DE重合,所以DE//BC采用了“同一法”的间接证明引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆否命题，然后根据唯一性的原理断言命题为真，这种解题方法叫做同一法用同一法解题一般有三个步骤：①先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；②根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的；③从而说明已知图形符合结论．例如图,在△ABC内任取一点D,连接AD和BD.点E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB.求证:△DBE∽△ABC.BACDE分析:好容易得出∠ABC=∠DBE只需要再证明即证ABBDBCBE只要证明△ABD∽△CBEABBCBDBE判定定理3对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述:三边对应成比例,两三角形相似ABCCBA已知:如图,在△ABC和△ABC中CAACBCCBABBA求证:△ABC∽△A’B’C’证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,过点D作DE//BC,交AC于点E.DECAEABCDEABAD△ADE∽△ABC∵AD=ABABBAABADCAACBCCBABBACAACCAEABCCBBCDE,ACEACBDE,∴△ADE≌△ABC∴△ABC∽△ABC例如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、BC、CA、AB的中点.求证：△DEF∽△ABCFDEBAC证明:∵线段EF、FD、DE都是△ABC的中位线ABDECAFDBCEF21,21,2121ABDECAFDBCEF∴△DEF∽△ABC直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等于相似比；(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方；2.相似三角形的性质已知:梯形ABCD中AD∥BC,AD=36cm,BC=60cm,延长两腰BA,CD交于点O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,则OF=_______.ABCDEFOF80cm问题1、两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？OABCD问题2、两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？/D/O/B/C/A结论：1．相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．2．相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方．1.射影点在直线上的正射影从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。一条线段在直线上的正射影线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。A´AANMNMABA´B´点和线段的正射影简称射影探究：△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高。你能从射影的角度来考察AC与AD，BC与BD等的关系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？ABDC.90,9000BCDBBCDACDBACDCBDACDBDCDCDAD)1(2BDADCD即CBDRtACDRt和考察BCARtBDCRt和考察,是公共角BBCACDA由同理,ABBCBCBD)2(2ABBDBC即)3(2ABADAC有∽BCABDC∽∽射影定理直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。2CDADBD2BCBDAB2ACADABABDC用勾股定理能证明吗?∵AB²=AC²+BC²∴(AD+BD)²=AC²+BC²即2AD·BD=AC²-AD²+BC²-BD²∵AC²-AD²=CD²，BC²-BD²=CD²∴2AD·BD=2CD²∴CD²=AD·BD而AC²=AD²+CD²=AD²+AD·BD=AD(AD+BD)=AD·AB同理可证得BC²=BD·ABABDCO例1如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D.AD=2,DB=8,0:90,.ACBACBABC解是半圆上的圆周角，即是直角三角形228164;CDADBDCD由射影定理可得，解得22102025;ACADABAC，解得28108045.BCBDABBC，解得求CD,AC和BC的长.总结：已知“直角三角形斜边上的高”这一基本图形中的六条线段中的任意两条线段，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程的思想。ABDC习题1.41.直角△ABC中已知:CD=60AD=25求：BD,AB,AC,BC的长BD=144,AB=169,AC=65,BC=1562.(2007广州一模)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于_____．BACDO5例2△ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且CD²=AD·DB求证：△ABC是直角三角形。ABDC证明:在△CDA和△BDC中,0.90.CABDCDABCDABDC点在上的射影为，000909090ACDCADACDBCDACDACBABC在中是直角三角形.2::CDADDBADCDCDDBCDABDCCADBCD又∽总结：1、知识：学习了直角三角形中重要的比例式和比例中项的表达式——射影定理。2、方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等积式。3、能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图形的能力。4、数学思想：方程思想和转化思想。平行线等分线段定理平行线分线段成比例定理推论1推论2推论1.2节例3引理预备定理判定定理3判定定理1判定定理2相似三角形概念直角三角形相似的判定定理射影定理相似三角形性质射影概念勾股定理1.从特殊到一般的思考方法.数学方法:在研究数学问题时,通过考察特殊性问题获得一般规律的猜想,并从中得到证明一般规律的思想方法的启发;然后由特殊过渡到一般,对一般性结论作出严格证明.2.化归思想方法.在研究问题时,常常通过一定的逻辑推理,将困难的,不熟悉的问题转化为容易的熟悉的问题.恒等变形,换元法,数形结合法,参数法等,都是具体的化归方法.相似三角形的证明采用了化归为预备定理的方法.