高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第2节-基础达标

第二章第二节一、选择题1．(文)函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A．k12B．k12C．k－12D．k－12[答案]D[解析]使y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k＋10，即k－12.(理)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝1xB．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg|x|[答案]C[解析]本题考查了偶函数的判断及单调性的判断，y＝1x是奇函数，A错；y＝e－x是非奇非偶函数，B错；y＝lg|x|＝lgx，x0lg－x，x0，，当x0时是增函数，D错；由二次函数图像性质知C正确.2．(文)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|[答案]B[解析]本题考查函数的奇偶性以及单调性．对于A，y＝x3不是偶函数，A错误；B正确，既是偶函数又在(0，＋∞)上单增；对于C，在(0，＋∞)上单调递减，错误；对于D，在(0，＋∞)上单调递减，错误，故选B．(理)函数y＝1－1x－1()A．在(－1，＋∞)内是增加的B．在(－1，＋∞)内是减少的C．在(1，＋∞)内是增加的D．在(1，＋∞)内是减少的[答案]C[解析]函数定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．根据复合函数的单调性可知，y1＝1x－1在(1，＋∞)上是减少的．所以y＝1－1x－1在(1，＋∞)上是增加的．3．“函数f(x)在[0,1]上单调”是“函数f(x)在[0,1]上有最大值”的()A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分且必要条件D．既非充分也非必要条件[答案]B[解析]函数f(x)在[0,1]上单调，则函数f(x)在[0,1]上有最大值，而函数f(x)在[0,1]上有最大值，f(x)在[0,1]上不一定单调，故选B．4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)[答案]A[解析]本题考查了指、对函数的基本性质，复合函数的值域问题．3x0⇒3x＋11⇒log2(3x＋1)log21＝0，选A．5．(文)函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是()A．(3，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，－1)[答案]A[解析]由已知易得x＋10，x－30，即x3，又00.51，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．(理)函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是()A．(－∞，32]B．[32，＋∞)C．(－1，32]D．[32，4)[答案]D[解析]函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－(x－32)2＋254的减区间为[32，4)，∵e1，∴函数f(x)的单调减区间为[32，4)．6．(2015·潍坊质检)若f(x)＝ex－e－x2，g(x)＝－ex＋e－x2，则有()A．f(2)f(3)g(0)B．g(0)f(3)f(2)C．f(2)g(0)f(3)D．g(0)f(2)f(3)[答案]D[解析]因为y＝ex和y＝－e－x在R上均为递增函数，∴f(x)在R上单调递增，所以0＝f(0)f(2)f(3)，又g(0)＝－10，所以g(0)f(2)f(3)．二、填空题7．函数f(x)＝log12x，x≥12x，x1的值域为________．[答案](－∞，2)[解析]本题考查了分段函数值域问题．当x≥1时，y＝log12x单调递减，值域为(－∞，0]，而x1时，y＝2x单调递增，值域为(0,2)，所以f(x)值域为(－∞，2)，指对函数图像性质是高考常考内容，应加强练习．8．(2015·温州模拟)若函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的值域为[13，1]，则a＋b＝________.[答案]6[解析]解法一：由题意可知x－10，又x∈[a，b]，∴a1，f(x)在[a，b]上单调递减，∴1a－1＝1，1b－1＝13，∴a＝2，b＝4，所以a＋b＝6.解法二：简解：作出函数f(x)的图像(如图)由图可知1a－1＝11b－1＝13即a＝2，b＝4.∴a＋b＝6.9．(文)若在区间12，2上，函数f(x)＝x2＋px＋q与g(x)＝x＋1x在同一点取得相同的最小值，则f(x)在该区间上的最大值是________．[答案]3[解析]对于g(x)＝x＋1x在x＝1时，g(x)的最小值为2，则f(x)在x＝1时取最小值2，∴－p2＝1，4q－p24＝2.∴p＝－2，q＝3.∴f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)在该区间上的最大值为3.(理)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．[答案](－∞，1][解析]本题考查指数函数与分段函数的对称性．∵f(x)＝e|x|的对称轴为x＝0，∴f(x)＝e|x－a|的对称轴为x＝a，若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴a≤1.三、解答题10．函数f(x)＝2x－ax的定义域为(0,1](a为实数)．(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围；(3)求函数y＝f(x)在x∈(0,1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．[解析](1)因为f(x)＝2x＋1x≥22x·1x＝22.当且仅当2x＝1x，即x＝22时取等号．所以函数y＝f(x)的值域为[22，＋∞)．(2)若函数y＝f(x)在定义域上是减函数，则任取x1，x2∈(0,1]且x1x2都有f(x1)f(x2)成立，即(x1－x2)2＋ax1x20，只要a－2x1x2即可，由x1，x2∈(0,1]，故－2x1x2∈(－2,0)，所以a≤－2，故a的取值范围是(－∞，－2]．(或用导数来判断)．(3)当a≥0时，函数y＝f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；由(2)得当a≤－2时，函数y＝f(x)在(0,1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；当－2a0时，函数y＝f(x)在0，－2a2上单调递减，在－2a2，1上单调递增，无最大值，当x＝－2a2时取得最小值2－2a.一、选择题1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是()A．f(x)＝1xB．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)[答案]A[解析]由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．在A中，由f′(x)＝－1x20，得x在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；在B中，由f′(x)＝2(x－1)0得x1，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数．在C中，由f′(x)＝ex0，知f(x)在R上为增函数．在D中，由f′(x)＝1x＋1且x＋10知，f′(x)0，所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．2．(文)定义在R上的函数f(x)的图像关于x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有()A．f13f32f23B．f23f32f13C．f32f23f13D．f23f13f32[答案]B[解析]∵f(x)的图像关于x＝1对称，∴f13＝f53，f23＝f43.又∵x≥1时，f(x)＝3x－1为增函数，且433253，∴f43f32f53，即f23f32f13.(理)函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数．设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)＝0；②f(x3)＝12f(x)；③f(1－x)＝1－f(x)．则f(13)＋f(18)＝()A．12B．34C．1D．23[答案]B[解析]由③，令x＝0，可得f(1)＝1，由②，令x＝1，可得f(13)＝12f(1)＝12，令x＝13，可得f(19)＝12f(13)＝14.由③结合f(13)＝12，可知f(23)＝12，令x＝23，可得f(29)＝12f(23)＝14，因为191829且函数f(x)在[0,1]上为非减函数，所以f(18)＝14.所以f(13)＋f(18)＝34.二、填空题3．(文)函数y＝x＋2x在区间[0,4]上的最大值M与最小值N的和为________．[答案]8[解析]函数y＝x＋2x在其定义域上是增函数，所以x＝0时有最小值N＝0，x＝4时有最大值M＝8，M＋N＝8.(理)函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．[答案]0，32[解析]y＝－(x－3)|x|＝－x2＋3xx0，x2－3xx≤0.作出该函数的图像，观察图像知递增区间为0，32.4．(文)(2014·徐州模拟)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减少的，则a的取值范围是________．[答案][0，34][解析]当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，显然f(x)在(－∞，3)上是减少的．当a≠0时，要使f(x)在(－∞，3)上是减少的，则需a0－4a－32×2a≥3，即0a≤34.综上可知a∈[0，34]．(理)设a，b∈R，定义max{a，b}＝aa≥bbab，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)，则f(x)的最小值是______．[答案]32[解析]令y1＝|x＋1|，y2＝|x－2|，在同一坐标系中分别作出其图像，如图所示，根据条件知函数f(x)的图像为图中的射线PA，PB构成，由y＝－x＋2y＝x＋1，解得y＝32.即为函数f(x)的最小值．三、解答题5．(文)已知函数f(x)＝1a－1x(a0，x0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调增加的；(2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a的值．[解析](1)设x2x10，则x2－x10，x1x20.f(x2)－f(x1)＝(1a－1x2)－(1a－1x1)＝1x1－1x2＝x2－x1x1x20，∴f(x2)f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调增加的．(2)f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，又f(x)在[12，2]上单调递增，∴f(12)＝12，f(2)＝2.∴1a－2＝121a－12＝2，∴a＝25.(理)已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；(2)当a＝12时，求f(x)的最小值；(3)若a为正常数，求f(x)的最小值．[分析]在解决该类型函数的最值时，首先考虑到应用均值不等式求解，但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件，若条件不具备，应从函数单调性的角度考虑．[解析](1)当a＝4时，f(x)＝x＋4x＋2，易知f(x)在[1,2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的．∴f(x)min＝f(2)＝6.(2)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，易知f(x)在[1，＋∞)上为增加的，∴f(x)min＝f(1)＝72.(3)函数f(x)＝x＋ax＋2在(0，a]上是减少的，在[a，＋∞)上是增加的．若a1，即a1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，f(x)min＝f(a)＝2a＋2；若a≤1，即0a≤1时，f(x)在区间[1，＋∞)上是增加的．∴f(x)min＝f(1)＝a＋3.综上所述，f(x)min＝a＋30a≤12a＋2a1