高三数学复习专题-函数与基本初等函数-阶段性测试题2

阶段性测试题二(函数与基本初等函数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数f(x)＝x2＋1，x≤1lgx，x1，则f(f(10))＝()A．lg101B．2C．1D．0[答案]B[解析]利用“分段”求值．由题意知f(10)＝lg10＝1，f(1)＝1＋1＝2，故f(f(10))＝f(1)＝2.2．若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域是()A．[－4,4]B．[－2,2]C．[－4，－2]D．[2,4][答案]B[解析]由－2≤x≤4，－2≤－x≤4，得－2≤x≤2.3．函数y＝lg1|x＋1|的大致图像为()[答案]D[解析]函数的定义域为{x|x≠－1}，排除A，C．取特殊值x＝9，则y＝－10，排除B，选D．4．(文)(2014·广东高考)下列函数为奇函数的是()A．2x－12xB．x3sinxC．2cosx＋1D．x2＋2x[答案]A[解析]本题考查函数奇偶性的判断．设函数为f(x)，则A中f(－x)＝2－x－12－x＝12x－2x＝－f(x)为奇函数；B中f(－x)＝2cosx＋1＝f(x)为偶函数；C中f(－x)＝x3sinx＝f(x)为偶函数；D中f(－x)＝x2＋2－x≠±f(x)，非奇非偶，选A．(理)(2014·湖南高考)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3[答案]C[解析]分别令x＝1和x＝－1可得f(1)－g(1)＝3且f(－1)－g(－1)＝1⇒f(1)＋g(1)＝1，则f1－g1＝3f1＋g1＝1⇒f1＝2g1＝－1⇒f(1)＋g(1)＝1，故选C．5．(文)已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－12等于()A．13B．36C．33D．24[答案]D[解析]由log7[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)＝1，即log2x＝3，解得x＝8，所以x－12＝8－12＝18＝122＝24，选D．(理)已知集合A＝{x∈R|2xe}，B＝{x∈R|1x1}，则A∩B＝()A．{x|x∈R|0xlog2e}B．{x∈R|0x1}C．{x∈R|1xlog2e}D．{x∈R|xlog2e}[答案]B[解析]因为集合A＝{x∈R|2xe}＝{x∈R|xlog2e}．B＝{x∈R|1x1}＝{x∈R|0x1}，所以A∩B＝{x∈R|0x1}．6．已知函数f(x)＝ln(21－x＋a)(a为常数)是奇函数，则实数a为()A．1B．－3C．3D．－1[答案]D[解析]函数在x＝0处有意义，所以f(0)＝ln(2＋a)＝0，得a＝－1.7．设P＝log23，Q＝log32，R＝log2(log32)，则()A．QRPB．RQPC．QPRD．RPQ[答案]B[解析]题设是三个对数比较大小，因此我们考察相应的对数函数，如y＝log2x，y＝log3x，它们都是增函数，从而知0log321，log231，log2(log32)0，因此选B．8．设函数f(x)＝x2＋bx＋c，x≥01，x0，若f(4)＝f(0)，f(2)＝2，则函数g(x)＝f(x)－x的零点的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]因为f(4)＝f(0)，f(2)＝2，所以16＋4b＋c＝c且4＋2b＋c＝2，解得b＝－4，c＝6，即f(x)＝x2－4x＋6，x≥01，x0.当x≥0时，由g(x)＝f(x)－x＝0得x2－4x＋6－x＝0，即x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.当x0时，由g(x)＝f(x)－x＝0得1－x＝0，解得x＝1，不成立，舍去．所以函数的零点个数为2个，选C．9．(文)(2014·全国大纲卷)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2B．－1C．0D．1[答案]D[解析]本题考查了抽象函数的性质与图像．∵f(x)是奇函数，f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)．∴f(x)的对称轴为x＝2，结合图像知x＝－2也是f(x)的对称轴．∴f(8)＝f(－4)＝f(0)＝0f(9)＝f(7＋2)＝f(－7＋2)＝f(－5)＝f(1)＝1.∴f(8)＋f(9)＝1，由函数的奇偶性得出对称轴，从而求出结论．(理)(2014·北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟[答案]B[解析]由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图像过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得0.7＝9a＋3b＋c，0.8＝16a＋4b＋c，0.5＝25a＋5b＋c，解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，所以当t＝3.75分钟时，可食用率p最大．故选B．10．(文)(2014·东北三校联考)能够把圆O：x2＋y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是()A．f(x)＝ex＋e－xB．f(x)＝ln5－x5＋xC．f(x)＝tanx2D．f(x)＝4x3＋x[答案]A[解析]由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为图像过原点的奇函数，A中，f(0)＝e0＋e－0＝2，所以f(x)＝ex＋e－x的图像不过原点，故f(x)＝ex＋e－x不为“和谐函数”；B中，f(0)＝ln5－05＋0ln1＝0，且f(－x)＝ln5＋x5－x＝－ln5－x5＋x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)＝ln5－x5＋x为“和谐函数”；C中f(0)＝tan0＝0，且f(－x)＝tan－x2＝－tanx2＝－f(x)，f(x)为奇函数，故f(x)＝tanx2为“和谐函数”；D中，f(0)＝0，且f(x)为奇函数，故f(x)＝4x3＋x为“和谐函数”；故选A．(理)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为()A．γαβB．βαγC．αβγD．βγα[答案]A[解析]g′(x)＝1，所以由g(α)＝g′(α)得α＝1.h′(x)＝1x＋1，所以由h(β)＝h′(β)得ln(β＋1)＝1β＋1，由图像可知0β1，φ′(x)＝3x2，由φ(γ)＝φ′(γ)得γ3－1＝3γ2，当γ＝0时，不成立．所以γ3－1＝3γ20，即γ1，所以γαβ，选A．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．(文)计算3log32＋lg12－lg5的结果为________．[答案]1[解析]由对数恒等式知3log32＝2，根据对数运算法则知lg12－lg5＝lg(12÷5)＝lg110＝－1，∴3log32＋lg12－lg5＝2－1＝1.(理)方程33x－1＋13＝3x－1的实数解为________．[答案]x＝log34[解析]两边同乘以3(3x－1)，整理得：(3x)2－2·3x－8＝0，解得x＝log34.12．(2015·常德模拟)已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图像与x轴、y轴无交点且关于原点对称，则m＝________.[答案]2[解析]由题意知m2－2m－3为奇数且m2－2m－30，由m2－2m－30，得－1m3，又m∈N*，故m＝1,2.当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4(舍去)．当m＝2时，m2－2m－3＝22－2×2－3＝－3.符合要求．13．已知函数f(x)＝x2－|x|，若f(－m2－1)f(2)，则实数m的取值范围是________．[答案](－1,1)[解析]根据已知函数f(x)＝x2－|x|，那么可知f(－x)＝x2－|x|＝f(x)，因此是偶函数，同时可知在对称轴的右侧是递增的，在对称轴的左侧是递减的，那么可知f(－m2－1)f(2)等价于|－m2－1|2，∴－2m2＋12解得m的范围是(－1,1)．14．(文)已知函数f(x)＝log3x，x013x，x≤0，则满足方程f(a)＝1的所有a的值为________．[答案]0或3[解析]当a0时，f(a)＝log3a＝1，解得a＝3；当a≤0时，f(a)＝(13)a＝1，解得a＝0.综上a＝0或3.(理)已知方程x2＋2x＋2a－1＝0在(1,3]上有解，则实数a的取值范围为________．[答案][－7，－1)[解析]由x2＋2x＋2a－1＝0，参变量分离得2a＝－(x＋1)2＋2，记f(x)＝－(x＋1)2＋2，且x∈(1,3]，所以－14≤f(x)≤－2，即－14≤2a－2.故实数a的取值范围为[－7，－1)．15．(文)(2014·天津高考)已知函数f(x)＝|x2＋5x＋4|，x≤0，2|x－2|，x0.若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．[答案]1a2[解析]本题考查绝对值函数与分段函数的零点，采用数形结合思想．如图，f(x)图像为当y＝ax与y＝2(x－2)(x2)平行时，a＝2，f(x)与y＝a|x|，共3个交点，∴a2.当y＝－2x与y＝x2－5x－4相切时，令Δ＝0，a＝1，此时f(x)与y＝|a|x有5个交点，则当1a2时，两函数图像有4个交点．∴1a2.(理)(2014·天津高考)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．[答案](0,1)∪(9，＋∞)[解析]解法一：显然有a0，(ⅰ)当y＝－a(x－1)与y＝－x2－3x相切时，a＝1，此时f(x)－a|x－1|＝0恰有3个互异的实数根．(ⅱ)当直线y＝a(x－1)与函数y＝x2＋3x相切时，a＝9，此时f(x)－a|x－1|＝0恰有2个互异的实数根．结合图像可知0a1或a9.解法二：显然x≠1，所以a＝|x2＋3xx－1|，令t＝x－1，则a＝|t＋4t＋5|.因为t＋4t∈(－∞，－4])∪[4，＋∞)，所以t＋4t＋5∈(－∞，1]∪[9，＋∞)．令t＋4t＝－5得t＝－1或－4，结合图像可得0a1或a9.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)用定义证明函数f(x)＝x2＋2x－1在(0,1]上是减少的．[解析]证明一个函数为单调函数，根据定义设x1，x2为所给区间上的任意两个实数，且x1x2，然后作差f(x1)－f(x2)，但一定要注意的是，对差f(x1)－f(x2)，我们一般是进行因式分解，把它变成几个因式之积，实际上是要得到几个容易判断正负的因式之积，从而很快可以得出差f(x1)－f(x2)是正是负．证明：设x1x2，且x1，x2∈(0,1]，则x2－x10,0x1x21，x1＋x22，2x1x2－(x1＋x2)0，∴f(x1)－f(x2)＝x21＋2x－11－x22－2x