教辅：高考数学二轮复习考点-排列与组合

考点十七排列与组合一、选择题1．(2020·北京通州区期末)已知有B1，B2，…，B66支篮球队举行单循环赛(单循环赛：所有参赛队均能相遇一次)，那么比赛的场次数是()A．15B．18C．24D．30答案A解析从这6支队伍中选两队即可得到比赛的场次数，故有C26＝15场，故选A.2．“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121,666,54345等，则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是()A．100B．900C．999D．1000答案B解析根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同，个位有9种，十位和百位均有10种，故根据分步乘法计数原理可得共有9×10×10＝900个．3．(2020·山东淄博高三摸底)将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是()A．40B．60C．80D．100答案A解析在六个小球里任选三个，放入与其编号相同的盒子里共有C36种放法，剩下三个小球放入与其编号不同的盒子里的方法有2种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是2C36＝40.4．(2020·辽宁葫芦岛模拟)区块链是数据存储、传输、加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型．在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段．我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)．现有A，B，C，D四个点，若图中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为()A．4B．8C．12D．16答案D解析如图，A，B，C，D四点最多可确定AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条边，由题意知恰有3条边且无孤立点，所以满足条件的图有C36－4＝16个，故选D.5．(2020·新高考卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A．120种B．90种C．60种D．30种答案C解析首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数为C16；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数为C25；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有C16C25＝6×10＝60种．故选C.6．(2020·海南中学高三摸底)从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．48B．72C．90D．96答案D解析因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外三科竞赛或甲学生不参加任何比赛．①当甲参加另外三科竞赛时，共有C13A34＝72种选择方案；②当甲不参加任何竞赛时，共有A44＝24种选择方案．综上所述，所有参赛方案共有72＋24＝96种．7．(2020·上海松江区期末)已知集合A＝{1}，B＝{2,3}，C＝{3,4,5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则不同点的坐标个数为()A．36B．35C．34D．33答案D解析不考虑限定条件确定的不同点的个数为C12C13A33＝36，但集合B，C中有相同元素3，由1,3,3三个数确定的不同点只有三个，不是A33＝6个，故所求的不同点的个数为36－3＝33，故选D.8．(2020·山东青岛三模)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有()A．50种B．60种C．80种D．90种答案C解析根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有2×10＝20种不同的选法；若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有2×3×10＝60种不同的选法．则一共有20＋60＝80种选法．故选C.9．(2020·福建厦门5月质量检查)在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛(获奖名次不重复)．甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有()A．18种B．24种C．36种D．48种答案A解析①当甲排第一名时，则第五名从乙、丙两人中选一个，其他三名任意排列，N1＝2A33＝12；②当甲排第二，三，四名时，则第五名必排丙，第一名排乙，其他三名任意排列，∴N2＝A33＝6；∴N＝12＋6＝18，故选A.10.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种答案D解析分两种情况：一种情况是用三种颜色有C34A33种方法；另一种情况是用四种颜色有A44种方法．所以不同的涂色方法共有48种．11．(2020·北京东城区期末)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有()A．36种B．40种C．44种D．48种答案B解析根据题意，将9个数分为2组，一组为奇数：1,3,5,7,9，一组为偶数：2,4,6,8，若取出的3个数的和为奇数，分两种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有C35＝10种取法，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有C15C24＝30种取法，则和为奇数的取法共有10＋30＝40种，故选B.12．(2020·山东师范大学附属中学6月模拟)甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是()A．90B．120C．210D．216答案C解析因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有C36A33＝120种站法；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有C23C26A22＝90种站法．所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是120＋90＝210.故选C.13．(2020·北京西城区期末)万历十二年，中国明代音乐理论家和数学家朱载堉在其著作《律学新说》中，首次用珠算开方的办法计算出了十二个半音音阶的半音比例，这十二个半音音阶称为十二平均律．十二平均律包括六个阳律(黄钟、太族、姑洗、蕤宾、夷则、无射)和六个阴律(大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟)．现从这十二平均律中取出2个阳律和2个阴律，排成一个序列，组成一种旋律，要求序列中的两个阳律相邻，两个阴律不相邻，则可组成不同的旋律()A．450种B．900种C．1350种D．1800种答案B解析第一步，取出2个阳律和2个阴律，有C26C26＝225种；第二步，两个阳律相邻，两个阴律不相邻，有A22A22＝4种．根据分步乘法计数原理可得，共有225×4＝900种，故选B.14．(2020·宁夏吴忠模拟)2021年俱乐部世界杯(简称“世俱杯”)在中国上海、天津、广州、武汉、沈阳、济南、杭州、大连八个城市举行，我市将派9名小记者前往采访，每个举办城市至少安排一名记者，则不同的安排方法种数为()A．A89A18B．C19A18A88C．C29A88D．A99C78答案C解析根据题意，分2步进行分析：①将9名小记者分成8组，其中一组必有2人，其他各组每组1人，有C29种分组方法；②将分好的8组全排列，安排到8个城市，有A88种情况．则有C29A88种不同的安排方法．故选C.15．(2020·四川绵阳模拟)某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生，薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方法共有()A．480种B．360种C．240种D．120种答案B解析根据题意，分2种情况讨论：①当人脸识别方向有2人时，有A55＝120种安排方法；②当人脸识别方向有1人时，将其他5人分成4组，安排进行其他4个方向研究，有C25A44＝240种安排方法，则一共有120＋240＝360种分配方法．故选B.16．(2020·北京西城区期中)从20名同学中选派3人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有n种，则n的计算式可以是()A．3C320B．6C320C．2A320D．A320÷3答案B解析根据题意，分2步进行分析：先从20名同学中选出3人，有C320种选法，再将选出的3人安排参加两科竞赛，需要先将3人分成2组，参加2科竞赛，有C23A22＝6种情况，则有6C320种不同的选派方式．故n＝6C320，故选B.17．(2020·山东菏泽高三联考)某校周五的课程表设计中，要求安排8节课(上午4节、下午4节)，分别安排语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在上午的第一节或下午的最后一节，数学和英语在安排时必须相邻(注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻)，则周五的课程顺序的编排方法共有()A．4800种B．2400种C．1200种D．240种答案B解析分步排列，第一步：因为由题意知生物只能安排在上午的第一节或下午的最后一节，所以生物有A12＝2种编排方法；第二步：因为数学和英语在安排时必须相邻，注意数学和英语之间还有一个排列，有5A22＝10种编排方法；第三步：剩下的5节课安排5科课程，有A55＝120种编排方法．根据分步乘法计数原理知，共有2×10×120＝2400种编排方法．故选B.18．(2020·长春吉大附中高三三模)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有()A．36种B．44种C．48种D．54种答案B解析六项不同的任务分别为A，B，C，D，E，F，如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好D，F，再在D，F之间的3个空位中插入B，C，此时排列方法共有A22A23＝12种；如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A，E的两侧，排列方法有C13A22A22＝12种，可能都在A，E的右侧，排列方法有A22A22＝4种；如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A，E的两侧，排列方法有C12C12A22A22＝16种．所以不同的执行方案共有12＋12＋4＋16＝44种．二、填空题19．(2020·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．答案36解析∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，∴先取2名同学作为一组，选法有C24＝6种，然后将3组同学分配到3个小区，分法有A33＝6种，根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法共有6×6＝36种．20.(2020·山东潍坊二模)植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的A，B，C，D，G，F，E七点处各种植一棵树苗，如图所示，其中A，B，C分别与E，F，G关于抛物线的对称轴对称，现有3种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是________(用数字作答)．答案36解析由题意，对称相当于3种树苗种A，B，C，D四个位置，有且仅有一种树苗重复，有C13种选法；在四个位置上种植有A44A