教辅：高考数学复习练习之压轴题2

压轴题(二)8．(2020·山东济南二模)在三棱锥P－ABC中，AB＝2，AC⊥BC，若该三棱锥的体积为23，则其外接球表面积的最小值为()A．5πB．49π12C．64π9D．25π4答案D解析AB＝2，AC⊥BC，故底面三角形外接圆半径为r＝1，S△ABC＝12AC·BC≤14(AC2＋BC2)＝1，当且仅当AC＝BC＝2时等号成立，故V＝13S△ABC·h＝23，故h≥2，当P离平面ABC最远时，外接球表面积最小，此时，P在平面ABC的投影为AB中点O1，设球心为O，则O在PO1上，故R2＝(h－R)2＋12，化简得到R＝h2＋12h，对勾函数y＝x2＋12x在[2，＋∞)上单调递增，故Rmin＝54，故Smin＝4πR2min＝25π4.故选D.12．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P(X＝i)＝pi0(i＝1,2，…，n)，i＝1npi＝1，定义X的信息熵H(X)＝－i＝1npilog2pi()A．若n＝1，则H(X)＝0B．若n＝2，则H(X)随着p1的增大而增大C．若pi＝1n(i＝1,2，…，n)，则H(X)随着n的增大而增大D．若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，则H(X)≤H(Y)答案AC解析对于A，若n＝1，则i＝1，p1＝1，所以H(X)＝－(1×log21)＝0，所以A正确；对于B，若n＝2，则i＝1,2，p2＝1－p1，所以H(X)＝－[p1·log2p1＋(1－p1)·log2(1－p1)]，当p1＝14时，H(X)＝－14·log214＋34·log234，当p1＝34时，H(X)＝－34·log234＋14·log214，两者相等，所以B错误；对于C，若pi＝1n(i＝1，2，…，n)，则H(X)＝－1n·log21n·n＝－log21n＝log2n，则H(X)随着n的增大而增大，所以C正确；对于D，若n＝2m，随机变量Y的所有可能的取值为1,2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)．H(X)＝－i＝12mpi·log2pi＝i＝12mpi·log21pi＝p1·log21p1＋p2·log21p2＋…＋p2m－1·log21p2m－1＋p2m·log21p2m.H(Y)＝(p1＋p2m)·log21p1＋p2m＋(p2＋p2m－1)·log21p2＋p2m－1＋…＋(pm＋pm＋1)·log21pm＋pm＋1＝p1·log21p1＋p2m＋p2·log21p2＋p2m－1＋…＋p2m－1·log21p2＋p2m－1＋p2m·log21p1＋p2m，因为pi0(i＝1,2，…，2m)，所以1pi1pi＋p2m＋1－i，所以log21pilog21pi＋p2m＋1－i，所以pi·log21pipi·log21pi＋p2m＋1－i，所以H(X)H(Y)，所以D错误．故选AC.16．(2020·江苏南京金陵中学、南通海安高级中学、南京外国语学校高三下学期第四次模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R.已知c＝1，且△ABC的面积S＝2R2sin(B－A)sin(B＋A)，则a的最小值为________．答案55解析由S＝2R2sin(B－A)sin(B＋A)，得12absinC＝2R2sin(B－A)sin(B＋A)，又由a＝2RsinA，b＝2RsinB，得sinAsinB＝sin(B－A)，所以sinAsinB＝sinBcosA－cosBsinA，所以sinA(sinB＋cosB)＝sinBcosA，所以tanA＝sinBsinB＋cosB，又asinA＝csinC，c＝1，所以a＝sinAsinC＝sinAsinB＋A＝sinAsinBcosA＋cosBsinA＝tanAsinB＋cosBtanA，将tanA＝sinBsinB＋cosB代入，得a＝1sinB＋2cosB，当sinB＋2cosB＝5sin(B＋φ)(tanφ＝2)取最大值5时，a的最小值为55.21．(2020·湖南衡阳二模)已知函数f(x)＝xln(x＋1)＋ax.(1)若a0，证明：函数f(x)的极值为一个负数；(2)若函数f(x)与g(x)＝sinx在x＝0处的切线相同，当m≥4，x≥0时，证明：f(x)≥3g(x)－mxx＋2.证明(1)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．f′(x)＝xx＋1＋ln(x＋1)＋a＝1－1x＋1＋ln(x＋1)＋a，令m(x)＝1－1x＋1＋ln(x＋1)＋a，则m′(x)＝1x＋12＋1x＋10，故f′(x)在(－1，＋∞)上单调递增．∵f′(0)＝a0，当x0时，x1＋x0，令ln(x＋1)＋a＝0，得x＝e－a－1，可知f′(e－a－1)0，由零点存在定理知，在(0，e－a－1)上必存在一个变号零点x0，即极小值点．且ln(x0＋1)＋a＝－x0x0＋1，极小值f(x0)＝x0[ln(x0＋1)＋a]＝－x20x0＋1＜0，命题得证．(2)依题意，g′(x)＝cosx，f′(0)＝a＝g′(0)＝1，∵m≥4，x≥0，∴3sinx－mxx＋2≤3sinx－4xx＋2，不妨先证明xln(x＋1)＋x≥3sinx－4xx＋2，∵g(x)＝sinx在x＝0处的切线方程为y＝x.构造函数h(x)＝x－sinx，h′(x)＝1－cosx≥0，x≥0，∴h(x)单调递增，∴h(x)≥h(0)，∴x≥sinx，不妨先证xln(x＋1)＋x≥3x－4xx＋2，等价于证明ln(x＋1)－2＋4x＋2≥0，构造函数k(x)＝ln(x＋1)－2＋4x＋2，k′(x)＝x2x＋1x＋22≥0，故有x≥0，k(x)单调递增，k(x)≥k(0)＝0，由不等式的传递性，可知命题得证．22．(2020·山东青岛二模)已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，双曲线x24－y2＝1的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为102.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点D，M，N为椭圆C上的动点，M，O，N三点共线，直线DM，DN的斜率分别为k1，k2.(Ⅰ)证明：k1k2＝－14；(Ⅱ)若k1＋k2＝0，设直线DM过点(0，m)，直线DN过点(0，n)，证明：m2＋n2为定值．解(1)设椭圆的半焦距为c，由题意，知e＝ca＝a2－b2a2＝1－b2a2＝32，∴a＝2b，①∵双曲线x24－y2＝1的渐近线方程为y＝±12x，∴可设双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限的交点为P(2t，t)，∴t2＋2t2＝102，解得t2＝12.∵P(2t，t)在椭圆上，∴4t2a2＋t2b2＝1，即2a2＋12b2＝1，②由①②解得a＝2，b＝1，∴椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.(2)证明：由题意，知M，N关于原点对称，则可设D(x1，y1)，M(x2，y2)，N(－x2，－y2)．(Ⅰ)∵点D，M在椭圆C上，∴x214＋y21＝1，x224＋y22＝1，∴y21＝1－x214，y22＝1－x224，∴k1k2＝y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝y21－y22x21－x22＝1－x214－1－x224x21－x22＝－14.(Ⅱ)不妨设k10，k20，∵k1k2＝－14，k1＋k2＝0，∴k1＝12，k2＝－12，∵直线DM过点(0，m)，直线DN过点(0，n)，∴直线DM：y＝12x＋m，直线DN：y＝－12x＋n，由y＝12x＋m，x24＋y2＝1，得x2＋2mx＋2m2－2＝0，∴x1x2＝2m2－2，由y＝－12x＋n，x24＋y2＝1，得x2－2nx＋2n2－2＝0，∴－x1x2＝2n2－2，∴x1x2＋(－x1x2)＝2m2＋2n2－4＝0，即m2＋n2＝2，∴m2＋n2为定值2.