教辅：高考数学复习练习之压轴题4

压轴题(四)8．已知函数f(x)＝ax－a2－4(a0，x∈R)，若p2＋q2＝8，则fqfp的取值范围是()A．(－∞，2－3)B．[2＋3，＋∞)C．(2－3，2＋3)D．[2－3，2＋3]答案D解析fqfp＝aq－a2－4ap－a2－4＝q－a－4ap－a－4a，表示点A(p，q)与点Ba＋4a，a＋4a连线的斜率．又a＞0，所以a＋4a≥4，故取点E(4,4)．当AB与圆的切线EC重合时，kAB取最小值，可求得kEC＝tan15°＝2－3，所以fqfp的最小值为2－3；当AB与圆的切线ED重合时，kAB取最大值，可求得kED＝tan75°＝2＋3，所以fqfp的最大值为2＋3，故fqfp的取值范围是[2－3，2＋3]．12．(多选)(2020·山东济南6月仿真模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，下列说法正确的是()A．对任意点P，DP∥平面AB1D1B．三棱锥P－A1DD1的体积为16C．线段DP长度的最小值为62D．存在点P，使得DP与平面ADD1A1所成角的大小为π3答案ABC解析由题可知，正方体的面对角线长度为2，分别连接C1D，BD，B1D1，AB1，AD1，易得平面C1DB∥平面AB1D1，DP⊂平面C1DB，故对任意点P，DP∥平面AB1D1，故A正确；分别连接PA，PD1，无论点P在哪个位置，三棱锥P－A1DD1的高均为1，底面A1DD1的面积为12，所以三棱锥P－A1DD1的体积为13×12×1＝16，故B正确；线段DP在△C1BD中，当点P为BC1的中点时，DP最小，此时DP⊥BC1，在Rt△BPD中，DP＝BD2－PB2＝22－222＝62，故DP的最小值为62，故C正确；点P在平面ADD1A1上的投影在线段AD1上，设点P的投影为点Q，则∠PDQ为DP与平面ADD1A1所成的角，sin∠PDQ＝PQPD，PQ＝1，而62≤PD≤2，所以DP与平面ADD1A1所成角的正弦值的取值范围是22，63，而sinπ3＝3263，所以不存在点P，使得DP与平面ADD1A1所成角的大小为π3，故D错误．故选ABC.16．(2020·山东聊城二模)足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体，著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足F＋V－E＝2，那么足球有________个正六边形的面，若正六边形的边长为21，则足球的直径为________(结果保留整数)(参考数据：tan54°≈1.38，3≈1.73，π≈3.14)．答案2022解析因为足球是由正五边形与正六边形构成的，所以每块正五边形皮料周围都是正六边形皮料，每两个相邻的多边形恰有一条公共边，每个顶点处都有三块皮料，而且都遵循一个正五边形，两个正六边形结论．设正五边形为x块，正六边形为y块，由题知，x＋y＋135x＋6y－125x＋6y＝2，5x＝12×6y，解得x＝12，y＝20.所以足球有20个正六边形的面，12个正五边形的面．每个正六边形的面积为12×(21)2×32×6＝6332.每个正五边形的面积为12×21×21×tan54°2×5＝105tan54°4.球的表面积S＝20×6332＋12×105tan54°4＝6303＋315tan54°≈1089.9＋434.7＝1524.6.所以4πR2＝π(2R)2≈1524.6,2R≈22.所以足球的直径为22.21．(2020·山东滨州二模)在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期[0,2](2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,14](单位：天)人数174162502631(1)求这200名患者的潜伏期的样本平均数x－(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期6天总计50岁以上(含50岁)2050岁以下9总计40(3)以这200名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入硏究，该研究团队在该地区随机调查了10名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能(即概率最大)是多少？附：P(K2≥k0)0.050.0250.010k03.8415.0246.635K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.解(1)x－＝1200×(1×17＋3×41＋5×62＋7×50＋9×26＋11×3＋13×1)＝5.4(天)．(2)根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期≤6天潜伏期6天总计50岁以上(含50岁)1552050岁以下91120总计241640则K2＝40×15×11－5×9220×20×24×16＝3.75，经查表，得K2＝3.753.841，所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关．(3)由题意可知，该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率为80200＝25.设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则X近似服从二项分布，即X～B10，25，P(X＝k)＝Ck1025k3510－k，k＝0,1,2，…，10.由PX＝k≥PX＝k＋1，PX＝k≥PX＝k－1，得Ck1025k3510－k≥Ck＋11025k＋1359－k，Ck1025k3510－k≥Ck－11025k－13511－k，化简得175≤k≤225，又k∈N，所以k＝4，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4.22．(2020·吉林长春质量监测二)已知函数f(x)＝ex.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若对任意的m∈R，当x0时，都有m22fx＋1x22km－1恒成立，求最大的整数k.(参考数据：≈1.78)解(1)f(x)＝ex，则f(1)＝e，f′(x)＝ex，f′(1)＝e，所以曲线y＝f(x)＝ex在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex.(2)注意到x0，不等式m22fx＋1x22km－1中，当m＝0时，显然成立；当m≠0时，不等式可化为2f(x)＋1x22km－1m2，令h(x)＝2f(x)＋1x＝2ex＋1x，则h′(x)＝2ex－1x2，h′12＝2e12－1122＝2e12－40，h′33＝2－1332＝2－3≈2×1.78－30，所以存在x0∈12，33，使h′(x0)＝2ex0－1x20＝0.因为y＝2ex在(0，＋∞)上单调递增，y＝1x2在(0，＋∞)上单调递减，所以h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x0是h′(x)的唯一零点．且在区间(0，x0)上，h′(x)0，h(x)单调递减，在区间(x0，＋∞)上，h′(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)的最小值为h(x0)＝2ex0＋1x0＝1x20＋1x0，令1x0＝t∈(3，2)，则1x20＋1x0＝t2＋t∈(3＋3，6)，将h(x)的最小值设为a，则a∈(3＋3，6)，因此原式需满足a22km－1m2，即am2－22km＋10在m∈R上恒成立，又a0，可知判别式Δ＝8k－4a0即可，即ka2，且a∈(3＋3，6)，所以k可以取到的最大整数为2.