人教版高中数学必修一第10讲：对数与对数运算（教师版）

1对数与对数运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；2、掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.一、对数的定义一般地，如果1,0aaa的b次幂等于N,就是Nab，那么数b叫做以a为底N的对数，记作bNalog，a叫做对数的底数，N叫做真数。特别提醒：1、对数记号logaN只有在01aa且，0N时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。2、记忆两个关系式：①log10a；②log1aa。3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数N10log，简记作：lgN。例如：10log5简记作lg55.3log10简记作lg3.5。4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为了简便，N的自然对数Nelog，简记作：lnN。如：3loge简记作ln3；10loge简记作ln10。二、对数运算性质：如果0,1,0,0,aaMNnR有：log()loglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNNloglog()naaMnMnR特别提醒：1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。如2log(3)(5)是存在的，但222log(3)(5)log(3)log(5)是不成立的。2、注意上述公式的逆向运用：如lg5lg2lg101；2三、对数的换底公式及推论：对数换底公式：loglog0,1,0,1,0logmamNNaammNa两个常用的推论:（1）1loglogabba（2）1logloglogacbcba四、两个常用的恒等式：NaNalog，loglogmnaanbbm0,1,0,0aabN类型一指数式与对数式的相互转化例1：将下列指数式与对数式进行互化．(1)3x＝127；(2)14x＝64；(3)5－12＝15；(4)2log4＝4；(5)lg0.001＝－3;(6)21log(21)＝－1.解析：(1)log3127＝x.(2)log1464＝x.(3)log515＝－12.(4)(2)4＝4.(5)10－3＝0.001.(6)(2－1)－1＝2＋1.答案：见解析练习1：将下列指数式与对数式进行互化．(1)e0＝1；(2)(2＋3)－1＝2－3；(3)log327＝3；(4)log0.10.001＝3.答案：(1)ln1＝0.(2)23log(23)＝－1.(3)33＝27.(4)0.13＝0.001.练习2：将下列对数式与指数式进行互化．(1)2－4＝116；(2)53＝125；(3)lga＝2；(4)log232＝5.奎屯王新敞新疆3答案：(1)log2116＝－4.(2)log5125＝3.(3)102＝a.(4)25＝32.类型二对数基本性质的应用例2：求下列各式中x的值．(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；解析：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝3，∴x＝103＝1000.答案：（1）x＝5.（2）x＝1000.练习1：已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．答案：80练习2：(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝______.答案：10类型三对数的运算法则例3：计算(1)loga2＋loga12(a0且a≠1)；(2)log318－log32；(3)2log510＋log50.25；解析：(1)loga2＋loga12＝loga(2×12)＝loga1＝0.(2)log318－log32＝log3(18÷2)＝log39＝2.(3)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2.答案:（1）0（2）2（3）2练习1：(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)计算log535＋2log22－log5150－log514的值．答案:4练习2：(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)计算：2log510＋log50.25的值为________．答案：2类型四带有附加条件的对数式的运算例4：lg2＝a，lg3＝b，试用a、b表示lg108，lg1825.解析：lg108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg33＋lg22＝3lg3＋2lg2＝2a＋3b.lg1825＝lg18－lg25＝lg(2×32)－lg10222＝lg2＋lg32－lg102＋lg22＝lg2＋2lg3－2＋2lg2＝3a＋2b－2.答案：3a＋2b－2.4练习1：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg45.答案：0.8266练习2：若lgx－lgy＝a，则lg(x2)3－lg(y2)3等于()A．a2B．aC．3a2D．3a答案:D类型五应用换底公式求值例5:计算：lg12－lg58＋lg12.5－log89·log278.解析：lg12－lg58＋lg12.5－log89·log278＝lg12－lg58＋lg252－lg9lg8·lg8lg27＝lg12×85×252－2lg33lg3＝1－23＝13.答案：13练习1:计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．答案：13练习2:log89·log32的值为()A．23B．1C．32D．2答案：A类型六应用换底公式化简例6:已知log89＝a，log25＝b，用a、b表示lg3.解析：∵log89＝lg9lg8＝2lg33lg2＝a，①又∵log25＝lg5lg2＝1－lg2lg2＝b，②由①②消去lg2可得：lg3＝3a＋b.答案：lg3＝3a＋b.练习1:(2014～2015学年度安徽合肥一中高一上学期期中测试)已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝()A．ab＋3ab＋1B．ab＋ab＋1C．b＋3ab＋1D．ab－3ab＋1答案：A练习2:已知log72＝p，log75＝q，则lg5用p、q表示为()5A．pqB．qp＋qC．1＋pqp＋qD．pq1＋pq答案：B1、使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为()A．0＜a＜12且a≠1B．0＜a＜12C．a＞0且a≠1D．a＜12答案：B2、(2014～2015学年度辽宁沈阳二中高一上学期期中测试)已知x、y为正实数，则下列各式正确的是()A．2lgx＋lgy2＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2(lgx·lgy)＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy答案：A3、(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)若lg2＝a，lg3＝b，则lg12lg15等于()A．2a＋b1－a＋bB．2a＋b1＋a＋bC．a＋2b1－a＋bD．a＋2b1＋a＋b答案：A4、．log52·log425等于()A．－1B．12C．1D．2答案：C5、化简log1ab－loga1b的值为()A．0B．1C．2logabD．－2logab答案:A__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6基础巩固1．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－12等于()A．13B．123C．122D．133答案：C2．若f(10x)＝x，则f(3)的值为()A．log310B．lg3C．103D．310答案：B3．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么()A．x＝a＋3b－cB．x＝3ab5cC．x＝ab3c5D．x＝a＋b3－c3答案：C4．方程2log3x＝14的解是()A．33B．3C．19D．9答案：C5．eln3－e－ln2等于()A．1B．2C．52D．3答案:C能力提升6．若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.答案：-37．若logx(2＋3)＝－1，则x＝________.答案：2－378．已知log32＝a，则2log36＋log30.5＝________.答案：2＋a9.(1)设loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；(2)设x＝log23，求22x＋2－2x＋22x＋2－x的值．答案：(1)12.(2)103.10.已知logax＋3logxa－logxy＝3(a＞1)．(1)若设x＝at，试用a、t表示y；(2)若当0＜t≤2时，y有最小值8，求a和x的值．答案：(1)y＝at2－3t＋3(t≠0)．(2)a＝16，x＝64.课程顾问签字：教学主管签字：