新课标版数学（理）高三总复习之第1章单元测试卷

第一章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．(2014·陕西)设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x21，x∈R}，则M∩N＝()A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1]D．(0,1)答案B解析∵x21，∴－1x1，∴M∩N＝{x|0≤x1}．故选B.2．(2014·浙江理)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝()A．∅B．{2}C．{5}D．{2,5}答案B解析由题意知U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥5}，所以∁UA＝{x∈N|2≤x5}＝{2}．故选B.3．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(∁NB)等于()A．{1,5,7}B．{3,5,7}C．{1,3,9}D．{1,2,3}答案A解析即在A中把B中有的元素去掉．4．“x0”是“3x20”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件答案A解析当x0时，3x20成立；但当3x20时，得x20，则x0或x0，此时不能得到x0.5．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是()A．(綈p)或qB．p且qC．(綈p)且(綈q)D．(綈p)或(綈q)答案D解析由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题綈q是真命题，于是(綈p)或(綈q)是真命题．6．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋10D．对任意的x∈R，x3－x2＋10答案C解析应用命题否定的公式即可．7．原命题：“设a，b，c∈R，若ab，则ac2bc2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0B．1C．2D．4答案C解析c＝0时，原命题为假，逆命题为真，根据命题间的关系应选C.8．已知∁ZA＝{x∈Z|x＜6}，∁ZB＝{x∈Z|x≤2}，则A与B的关系是()A．A⊆BB．A⊇BC．A＝BD．∁ZA∁ZB答案A9.设全集为R，集合M＝{y|y＝2x＋1，－12≤x≤12}，N＝{x|y＝lg(x2＋3x)}，则韦恩图中阴影部分表示的集合为()答案C解析∵－12≤x≤12，y＝2x＋1，∴0≤y≤2，∴M＝{y|0≤y≤2}．∵x2＋3x0，∴x0或x－3，∴N＝{x|x0或x－3}，韦恩图中阴影部分表示的集合为(∁RM)∩N，又∁RM＝{x|x0或x2}，∴(∁RM)∩N＝{x|x－3或x2}，故选C.10．若命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－30”为假命题，则实数m的取值范围是()A．[2,6]B．[－6，－2]C．(2,6)D．(－6，－2)答案A解析∵命题“∃x0∈R，使得x20＋mx0＋2m－30”为假命题，∴命题“∀x∈R，使得x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6.11．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5答案C解析命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4，故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4，＋∞)的非空真子集，正确选项为C.12．已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(12)x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是()A．[14，＋∞)B．(－∞，14]C．[12，＋∞)D．(－∞，－12]答案A解析当x∈[0,3]时，[f(x)]min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，[g(x)]min＝g(2)＝14－m，由[f(x)]min≥[g(x)]min，得0≥14－m，所以m≥14，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知集合A＝{1，a,5}，B＝{2，a2＋1}．若A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为________．答案0或－2解析若a＝2，则a2＋1＝5，A∩B＝{2,5}，不合题意舍去．若a2＋1＝1，则a＝0，A∩B＝{1}．若a2＋1＝5，则a＝±2.而a＝－2时，A∩B＝{5}．若a2＋1＝a，则a2－a＋1＝0无解．∴a＝0或a＝－2.14．已知命题p：α＝β是tanα＝tanβ的充要条件．命题q：∅⊆A.下列命题中为真命题的有________．①p或q；②p且q；③綈p；④綈q.答案①③15．已知集合A＝{x∈R||x＋2|3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________.答案0解析由|x＋2|3，得－3x＋23，即－5x1.又A∩B＝(－1，n)，则(x－m)(x－2)0时必有mx2，从而A∩B＝(－1,1)，∴m＝－1，n＝1，∴m＋n＝0.16．由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．答案1解析∵“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，∴“任意x∈R，使x2＋2x＋m0”是真命题．∴Δ＝4－4m0，解得m1，故a的值是1.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，若A∪B＝A，求实数a的值．答案a＝2或a＝3解析A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝∅或{1}或{2}或{1,2}．当B＝∅时，无解；当B＝{1}时，1＋1＝a，1×1＝a－1，得a＝2；当B＝{2}时，2＋2＝a，2×2＝a－1，无解；当B＝{1,2}时，1＋2＝a，1×2＝a－1，得a＝3.综上：a＝2或a＝3.18．(本小题满分12分)π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.(1)写出p的否定并判断真假；(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？并证明你的结论．答案(1)p的否定是假命题(2)都是真命题(3)充要条件，证明略解析(1)原命题p的否定是：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．假命题．(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题．否命题：若“aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”．真命题．逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”真命题．(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件．证明如下：充分性：若a＝c，则aπ＝cπ.∵b＝d，∴aπ＋b＝cπ＋d.必要性：∵aπ＋b＝cπ＋d，∴aπ－cπ＝d－b.即(a－c)π＝d－b.∵d－b∈Q，∴a－c＝0且d－b＝0.即a＝c且b＝d.∴“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件．19．(本小题满分12分)设关于x的不等式x(x－a－1)0(a∈R)的解集为M，不等式x2－2x－3≤0的解集为N.(1)当a＝1时，求集合M；(2)若M⊆N，求实数a的取值范围．答案(1){x|0x2}(2)[－2,2]解析(1)当a＝1时，由已知得x(x－2)0，解得0x2.所以M＝{x|0x2}．(2)由已知得N＝{x|－1≤x≤3}．①当a－1时，因为a＋10，所以M＝{x|a＋1x0}．因为M⊆N，所以－1≤a＋10，所以－2≤a－1.②当a＝－1时，M＝∅，显然有M⊆N，所以a＝－1成立．③当a－1时，因为a＋10，所以M＝{x|0xa＋1}．因为M⊆N，所以0a＋1≤3，所以－1a≤2.综上所述，a的取值范围是[－2,2]．20．(本小题满分12分)已知p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上是单调减函数；q：关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两根均大于3，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．答案(52，3]∪[72，＋∞)解析p真，则指数函数f(x)＝(2a－6)x的底数2a－6满足02a－61，所以3a72.q真，令g(x)＝x2－3ax＋2a2＋1，易知其为开口向上的二次函数．因为x2－3ax＋2a2＋1＝0的两根均大于3，所以①Δ＝(－3a)2－4(2a2＋1)＝a2－40，a－2或a2；②对称轴x＝－－3a2＝3a23；③g(3)0，即32－9a＋2a2＋1＝2a2－9a＋100，所以(a－2)(2a－5)0.所以a2或a52.由a－2或a2，3a23，a2或a52，得a52.p真q假，由3a72及a≤52，得a∈∅.p假q真，由a≤3或a≥72及a52，得52a≤3或a≥72.综上所述，实数a的取值范围为(52，3]∪[72，＋∞)．21．(本小题满分12分)我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}．类似的，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A－B.据此回答下列问题：(1)若A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，求A－B；(2)在下列各图中用阴影表示出集合A－B；(3)若集合A＝{x|0ax－1≤5}，集合B＝{x|－12x≤2}，有A－B＝∅，求实数a的取值范围．答案(1){1,2}(2)略(3){a|a－12或a≥3或a＝0}解析(1)根据题意知A－B＝{1,2}．(2)(3)∵A－B＝∅，∴A⊆B.A＝{x|0ax－1≤5}，则1ax≤6.当a＝0时，A＝∅，此时A－B＝∅，符合题意；当a0时，A＝(1a，6a]，若A－B＝∅，则6a≤2，即a≥3；当a0时，A＝[6a，1a)，若A－B＝∅，则6a－12，即a－12.综上所述，实数a的取值范围是{a|a－12或a≥3或a＝0}．22．(本小题满分12分)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．若存在，求实数m的取值范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件．若存在，求实数m的取值范围．答案(1)m不存在(2)m≤3解析(1)P＝{x|－2≤x≤10}，S＝{x|1－m≤x≤m＋1}．若x∈P是x∈S的充要条件，∴1－m＝－2，1＋m＝10，∴m不存在．(2)若存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，∴S⊆P.若S＝∅，即m＜0时，满足条件．若S≠∅，应有m＋1≥1－m，1－m≥－2，m＋1≤10，解之得0≤m≤3.综上得，m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．1．(2015·广东广州测试)已知集合A＝{x|x∈Z且32－x∈Z}，则集合A中的元素个数为()A．2B．3C．4D．5答案C解析∵32－x∈Z，x∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，x值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C.2．设集合M是R的子集，如果点x0∈R满足：∀a0，∃x∈M,0|x－x0|a，称x0为集合M的聚点．则下列集合中以1为聚点的有()①{nn＋1|n∈N}；②{2n|n∈N*}；③Z；④{y|y＝2x}．A．①④B．②③C．①②D．①②④答案A解析①集合中{nn＋1|n∈N}中的元素是极限为1的数列，1是集合{nn＋1|n∈N}的聚点；②集合{2n|n∈N*}中的元素是极限为0的数列，最大值为2，即|x－1|≤1，对于a＝13，不存在0|x－1|13，所以1不是集合{2n|n∈N*}的聚点；③对于某个a1，比如a＝0.5，此时对任意的x∈Z，都有x－1＝0或者x－1≥1，也就是说不可能0|x－1|0