2019年天津卷理科数学高考试题

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件A、B互斥，那么()()()PABPAPB．·如果事件A、B相互独立，那么()()()PABPAPB．·圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高．·棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}ABCxxR，则()ACBA．2B．2,3C．1,2,3D．1,2,3,42．设变量,xy满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy则目标函数4zxy的最大值为A．2B．3C．5D．63．设xR，则“250xx”是“|1|1x”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为A．5B．8C．24D．295．已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l，若l与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且||4||ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为A．2B．3C．2D．56．已知5log2a，0.5og2.l0b，0.20.5c，则,,abc的大小关系为A．acbB．abcC．bcaD．cab7．已知函数()sin()(0,0,||)fxAxA是奇函数，将yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为gx．若gx的最小正周期为2π，且24g，则38fA．2B．2C．2D．28．已知aR，设函数222,1,()ln,1.xaxaxfxxaxx若关于x的不等式()0fx在R上恒成立，则a的取值范围为A．0,1B．0,2C．0,eD．1,e2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．i是虚数单位，则5ii1的值为_____________．10．83128xx的展开式中的常数项为_____________．11．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．12．设aR，直线20axy和圆22cos,12sinxy（为参数）相切，则a的值为_____________．13．设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为_____________．14．在四边形ABCD中，,23,5,30ADBCABADA∥，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BDAE_____________．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc．已知2bca，3sin4sincBaC．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求sin26B的值．16．（本小题满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．17．（本小题满分13分）如图，AE平面ABCD，,CFAEADBC∥∥，,1,2ADABABADAEBC．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角EBDF的余弦值为13，求线段CF的长．18．（本小题满分13分）设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若||||ONOF（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率．19．（本小题满分14分）设na是等差数列，nb是等比数列．已知1122334,622,24abbaba，．（Ⅰ）求na和nb的通项公式；（Ⅱ）设数列nc满足111,22,2,1,,kknkkcncbn其中*kN．（i）求数列221nnac的通项公式；（ii）求2*1niiiacnN．20．（本小题满分14分）设函数()ecos,()xfxxgx为fx的导函数．（Ⅰ）求fx的单调区间；（Ⅱ）当,42x时，证明()()02fxgxx；（Ⅲ）设nx为函数()()1uxfx在区间2,242nn内的零点，其中nN，证明20022sincseonnnxxx．2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．D2．C3．B4．B5．D6．A7．C8．C二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．9．1310．2811．π412．3413．4314．1三．解答题15．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力，满分13分．（Ⅰ）解：在ABC△中，由正弦定理sinsinbcBC，得sinsinbCcB，又由3sin4sincBaC，得3sin4sinbCaC，即34ba．又因为2bca，得到43ba，23ca．由余弦定理可得222222416199cos22423aaaacbBacaa．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得215sin1cos4BB，从而15sin22sincos8BBB，227cos2cossin8BBB，故15371357sin2sin2coscos2sin666828216BBB．16．本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~3,3XB，从而3321()C,0,1,2,333kkkPXkk．所以，随机变量X的分布列为X0123P1272949827随机变量X的数学期望2()323EX．（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则2~3,3YB，且{3,1}{2,0}MXYXY．由题意知事件{3,1}XY与{2,0}XY互斥，且事件3X与1Y，事件2X与0Y均相互独立，从而由（Ⅰ）知()({3,1}{2,0})(3,1)(2,0)PMPXYXYPXYPXY824120(3)(1)(2)(0)279927243PXPYPXPY．17．本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．依题意，可以建立以A为原点，分别以ABADAE，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)ABCD，(0,0,2)E．设(0)CFhh，则1,2,Fh．（Ⅰ）证明：依题意，(1,0,0)AB是平面ADE的法向量，又(0,2,)BFh，可得0BFAB，又因为直线BF平面ADE，所以BF∥平面ADE．（Ⅱ）解：依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BDBECE．设(,,)xyzn为平面BDE的法向量，则0,0,BDBEnn即0,20,xyxz不妨令1z，可得(2,2,1)n．因此有4cos,9||||CECECEnnn．所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49．（Ⅲ）解：设(,,)xyzm为平面BDF的法向量，则0,0,BDBFmm即0,20,xyyhz不妨令1y，可得21,1,hm．由题意，有224||1cos,||||3432hhmnmnmn，解得87h．经检验，符合题意．所以，线段CF的长为87．18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，依题意，524,5cba，又222abc，可得5a，2,b1c．所以，椭圆的方程为22154xy．（Ⅱ）解：由题意，设0,,0PPpMPxyxMx，．设直线PB的斜率为0kk，又0,2B，则直线PB的方程为2ykx，与椭圆方程联立222,1,54ykxxy整理得2245200kxkx，可得22045Pkxk，代入2ykx得2281045Pkyk，进而直线OP的斜率24510Ppykxk．在2ykx中，令0y，得2Mxk．由题意得0,1N，所以直线MN的斜率为2k．由OPMN，得2451102kkk，化简得2245k，从而2305k．所以，直线PB的斜率为2305或2305．19．本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．满分14分．（Ⅰ）解：设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q．依题意得2662,6124,qdqd解得3,2,dq故14(1)331,6232nnnnannb．所以，na的通项公式为31,nnanb的通项公式为32nnb．（Ⅱ）（i）解：22211321321941nnnnnnnacab．所以，数列221nnac的通项公式为221941nnnac．（ii）解：22221111211nnniiniiiiiiiiiiacaacaac12