2020年上海卷理科数学高考试卷真题及答案解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（上海卷）一、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1.已知集合1,2,4A，2,3,4B，求AB_______【分值】4分【答案】2,42.1lim31nnn________【分值】4分【答案】133.已知复数z满足12zi（i为虚数单位），则z_______【分值】4分【答案】54.已知行列式126300acdb，则行列式acdb_______【分值】4分【答案】25.已知3fxx，则1fx_______【分值】4分【答案】13xxR6.已知a、b、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab=【分值】4分【答案】367.已知20230xyyxy，则2zyx的最大值为【分值】5分【答案】-18.已知na是公差不为零的等差数列，且1109aaa，则12910aaaa【分值】5分【答案】2789.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。【分值】5分【答案】18010.椭圆22143xy，过右焦点F作直线l交椭圆于P、Q两点，P在第二象限已知,,'','QQQQQxyQxy都在椭圆上，且y'0QQy，'FQPQ，则直线l的方程为【分值】5分【答案】10xy11、设aR，若存在定义域R的函数fx既满足“对于任意0xR，0fx的值为20x或0x”又满足“关于x的方程fxa无实数解”，则的取值范围为【分值】5分【答案】,00,11,【解析】题目转换为是否为实数a,使得存在函数fx满足“对于任意0xR，0fx的值为20x或0x”，又满足“关于的方程fxa无实数解”构造函数；2,,xxafxxxa，则方程fxa只有0,1两个实数解。12、已知是平面内两两互不平等的向量，满足，且(其中1,21,2,...ijk，，)，则K的最大值为【分值】5分【答案】6【解析】根据向量减法的运算规律，可转化为以向量终点为圆心，作半径11r和22r的圆，两圆交点即为满足题意的，由图知，k的最大值为6.二、选择题（本题共有4小题，每题5分，共计20分）13、下列不等式恒成立的是（）A、222ababB、22-2ababC、2ababD、2abab【分值】5分【答案】B【解析】无14、已知直线l的解析式为3410xy，则下列各式是l的参数方程的是（）A、4334xtytB、4334xtytC、1413xtytD、1413xtyt【分值】5分【答案】D【解析】无15、在棱长为10的正方体.1111ABCDABCD中，P为左侧面11ADDA上一点，已知点P到11AD的距离为3，点P到1AA的距离为2，则过点P且与1AC平行的直线交正方体于P、Q两点，则Q点所在的平面是（）A.11AABBB.11BBCCC.11CCDDD.ABCD【分值】5分【答案】D【解析】延长BC至M点，使得=2CM延长1CC至N点，使得3CN,以CMN、、为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为H，连接1APPHHC、、，则易得四边形1APHC为平行四边形，因为点P在平面11ADDA内，点H在平面11BCCB内，且点P在平面ABCD的上方，点H在平面ABCD下方，所以线段PH必定会在和平面ABCD相交，即点Q在平面ABCD内16.、若存在aR且a0,对任意的xR，均有fxafxfa＜恒成立，则称函数fx具有性质P，已知：1:qfx单调递减，且0fx＞恒成立；2qfx：单调递增，存在00x＜使得00fx，则是fx具有性质P的充分条件是（）A、只有1qB、只有2qC、12qq和D、12qq和都不是【分值】5分【答案】C【解析】本题要看清楚一个函数具有性质P的条件是，存在aR且a0，则对于10qa，＞时，易得函数fx具有性质P；对于2q，只需取0ax，则0xaxxx＜，00fafx，所以0=fxafxxfxfxfa＜，所以此时函数fx具有性质P.三、解答题（本题共5小题，共计76分）综合题分割17、已知边长为1的正方形ABCD，沿BC旋转一周得到圆柱体。（1）求圆柱体的表面积；（2）正方形ABCD绕BC逆时针旋转2到11ABCD，求1AD与平面ABCD所成的角。【分值】【答案】（1）4π；（2）3arcsin3综合题分割18、已知f(x)=sin(0)x.（1）若f(x)的周期是4π，求，并求此时1f()2x的解集；（2）已知=1，2g()()3()()2xfxfxfx，x0,4，求g(x)的值域.【分值】【答案】（1）1=2，5xx|x=4x4,33kkkZ或;（2）1-,02综合题分割19、已知：=xq，x(0,80]，且801100-135(),(0,40)=(0)3(40)85,[40,80]xxkkxx，（1）若v95，求x的取值范围；（2）已知x=80时，v=50，求x为多少时，q可以取得最大值，并求出该最大值。【分值】【答案】（1）80x(0,)3；（2）480x7时，max28800q=7综合题分割20、双曲线22122:14xyCb，圆2222:4(0)Cxybb在第一象限交点为A，(,)AAAxy，曲线2222221,44,AAxyxxbxybxx。（1）若6Ax，求b；（2）若b5，2C与x轴交点记为12FF、,P是曲线上一点，且在第一象限，并满足18PF，求∠12FPF；（3）过点2(0,2)2bS且斜率为2b的直线l交曲线于M、N两点，用b的代数式表示，并求出的取值范围。【分值】【答案】（1）2；（2）1116；（3）(625,)；【解析】（1）若6Ax，因为点A为曲线1C与曲线2C的交点，∵222222144AAxybxyb，解得22yb，∴2b（2）方法一：由题意易得12FF、为曲线的两焦点，由双曲线定义知：212PFPFa，18,24PFa，∴24PF又∵5b，∴126FF在12PFF中由余弦定理可得：2221212121211cos216PFPFFFFPFPFPF方法二：∵5b，可得2222145(3)64xyxy，解得(4,15)P，（3）设直线24:22bblyx可得原点O到直线l的距离222224424414bbdbbb所以直线l是圆的切线，切点为M,所以2OMkb，并设2:OMlyxb，与圆2224xyb联立可得222244xxbb，所以得,2xby，即(,2)Mb，注意到直线l与双曲线得斜率为负得渐近线平行，所以只有当2Ay时，直线l才能与曲线有两个交点，由222222144Axybxyb，得422Abyab，所以有4244bb，解得2225b，或2225b（舍）又因为由上的投影可知：所以21.有限数列{}na，若满足12131||||...||maaaaaa，m是项数，则称{}na满足性质p.（1）判断数列3,2,5,1和4,3,2,5,1是否具有性质p，请说明理由.（2）若11a，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质p，求q的取值范围.（3）若na是1,2,...,m的一个排列1(4),(1,2...1),{},{}kknnmbakmab都具有性质p，求所有满足条件的{}na.【分值】【答案】（1）对于第一个数列有|23|1,|53|2,|13|2，满足题意，该数列满足性质p对于第二个数列有|34|1,|24|2,|54|1不满足题意，该数列不满足性质p.（2）由题意可得，111,2,3,...,9nnqqn≥两边平方得：2-2-1212+1nnnnqqqq≥整理得：11(1)120nnqqqq≥当1q≥时，得1(1)20nqq≥，此时关于n恒成立，所以等价于2n时(1)20qq≥，所以(2)(1)0qq≥，所以q≤-2或者q≥l，所以取q≥1.当01q＜≤时，得1(1)2nqq≤0,此时关于n恒成立，所以等价于2n时(1)20qq≤，所以(2)(1)0qq≤，所以21q≤≤,所以取01q＜≤。当10q≤＜时，得11(1)20nnqqq≤。当n为奇数的时候，得1(1)20nqq≤,很明显成立，当n为偶数的时候，得1(1)20nqq≥，很明显不成立，故当10q≤＜时，矛盾，舍去。当1q＜时，得11(1)20nnqqq≤。当n为奇数的时候，得1(1)20nqq≤,很明显成立，当n为偶数的时候，要使1(1)20nqq≥恒成立，所以等价于2n时(1)20qq≥，所以021qq≥，所以q≤-2或者q≥1，所以取q≤-2。综上可得，,20,q。（3）设1=ap3,4,32pmm…,，因为1ap，2a可以取1p或者1p，3a可以取2p或者+2p。如果2a或者3a取了3p或者3p，将使na不满足性质p所以，na的前五项有以下组合：①1ap，21ap，31ap，42ap，52ap，②1ap，21ap，31ap，42ap，52ap，③1ap，2+1ap，31ap，42ap，52ap，④1ap，2+1ap，31ap，42ap，52ap，对于①，11bp，212bb，311bb，与nb满足性质p矛盾，舍去。对于②，11bp，212bb，313bb，412bb与nb满足性质p矛盾，舍去。对于③，1+1bp，212bb，313bb，411bb与nb满足性质p矛盾，舍去。对于④，1+1bp，212bb，311bb，与nb满足性质p矛盾，舍去。所以3,4,32pmm…,，均不能同时使na，nb都具有性质p。当=1p时，有数列na：1,23,1,mm，…,满足题意。当=pm时，时有数列na：,1,321mm…,,,满足题意。当=2p时，有数列na：21,3,1,mm，…,满足题意。当=pm时，有数列na：1,,2,3,321mmmm…,,,满足题意。故满足题意的数列只有上面四种。