高中物理竞赛讲座讲稿：《力-物体的平衡》

第一部分力＆物体的平衡第一讲力的处理一、矢量的运算1、加法表达：a+b=c。名词：c为“和矢量”。法则：平行四边形法则。如图1所示。和矢量大小：c=cosab2ba22，其中α为a和b的夹角。和矢量方向：c在a、b之间，和a夹角β=arcsincosab2basinb222、减法表达：a=c－b。名词：c为“被减数矢量”，b为“减数矢量”，a为“差矢量”。法则：三角形法则。如图2所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。差矢量大小：a=cosbc2cb22，其中θ为c和b的夹角。差矢量的方向可以用正弦定理求得。一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。例题：已知质点做匀速率圆周运动，半径为R，周期为T，求它在41T内和在21T内的平均加速度大小。解说：如图3所示，A到B点对应41T的过程，A到C点对应21T的过程。这三点的速度矢量分别设为Av、Bv和Cv。根据加速度的定义a=tvv0t得：ABa=ABABtvv，ACa=ACACtvv由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量1v=Bv－Av，2v=Cv－Av，根据三角形法则，它们在图3中的大小、方向已绘出（2v的“三角形”已被拉伸成一条直线）。本题只关心各矢量的大小，显然：Av=Bv=Cv=TR2，且：1v=2Av=TR22，2v=2Av=TR4所以：ABa=AB1tv=4TTR22=2TR28，ACa=AC2tv=2TTR4=2TR8。（学生活动）观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动？答：否；不是。3、乘法矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同。⑴叉乘表达：a×b=c名词：c称“矢量的叉积”，它是一个新的矢量。叉积的大小：c=absinα，其中α为a和b的夹角。意义：c的大小对应由a和b作成的平行四边形的面积。叉积的方向：垂直a和b确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图4所示。显然，a×b≠b×a，但有：a×b=－b×a⑵点乘表达：a·b=c名词：c称“矢量的点积”，它不再是一个矢量，而是一个标量。点积的大小：c=abcosα，其中α为a和b的夹角。二、共点力的合成1、平行四边形法则与矢量表达式2、一般平行四边形的合力与分力的求法余弦定理（或分割成RtΔ）解合力的大小正弦定理解方向三、力的分解1、按效果分解2、按需要——正交分解第二讲物体的平衡一、共点力平衡1、特征：质心无加速度。2、条件：ΣF=0，或xF=0，yF=0例题：如图5所示，长为L、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。解说：直接用三力共点的知识解题，几何关系比较简单。答案：距棒的左端L/4处。（学生活动）思考：放在斜面上的均质长方体，按实际情况分析受力，斜面的支持力会通过长方体的重心吗？解：将各处的支持力归纳成一个N，则长方体受三个力（G、f、N）必共点，由此推知，N不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图6所示（通常的受力图是将受力物体看成一个点，这时，N就过重心了）。答：不会。二、转动平衡1、特征：物体无转动加速度。2、条件：ΣM=0，或ΣM+=ΣM-如果物体静止，肯定会同时满足两种平衡，因此用两种思路均可解题。3、非共点力的合成大小和方向：遵从一条直线矢量合成法则。作用点：先假定一个等效作用点，然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。第三讲习题课1、如图7所示，在固定的、倾角为α斜面上，有一块可以转动的夹板（β不定），夹板和斜面夹着一个质量为m的光滑均质球体，试求：β取何值时，夹板对球的弹力最小。解说：法一，平行四边形动态处理。对球体进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量G和N1进行平移，使它们构成一个三角形，如图8的左图和中图所示。由于G的大小和方向均不变，而N1的方向不可变，当β增大导致N2的方向改变时，N2的变化和N1的方向变化如图8的右图所示。显然，随着β增大，N1单调减小，而N2的大小先减小后增大，当N2垂直N1时，N2取极小值，且N2min=Gsinα。法二，函数法。看图8的中间图，对这个三角形用正弦定理，有：sinN2=sinG，即：N2=sinsinG，β在0到180°之间取值，N2的极值讨论是很容易的。答案：当β=90°时，甲板的弹力最小。2、把一个重为G的物体用一个水平推力F压在竖直的足够高的墙壁上，F随时间t的变化规律如图9所示，则在t=0开始物体所受的摩擦力f的变化图线是图10中的哪一个？解说：静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题，但本题是一个例外。物体在竖直方向的运动先加速后减速，平衡方程不再适用。如何避开牛顿第二定律，是本题授课时的难点。静力学的知识，本题在于区分两种摩擦的不同判据。水平方向合力为零，得：支持力N持续增大。物体在运动时，滑动摩擦力f=μN，必持续增大。但物体在静止后静摩擦力f′≡G，与N没有关系。对运动过程加以分析，物体必有加速和减速两个过程。据物理常识，加速时，f＜G，而在减速时f＞G。答案：B。3、如图11所示，一个重量为G的小球套在竖直放置的、半径为R的光滑大环上，另一轻质弹簧的劲度系数为k，自由长度为L（L＜2R），一端固定在大圆环的顶点A，另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的B点。试求弹簧与竖直方向的夹角θ。解说：平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨论，解三角形的典型思路有三种：①分割成直角三角形（或本来就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。分析小球受力→矢量平移，如图12所示，其中F表示弹簧弹力，N表示大环的支持力。（学生活动）思考：支持力N可不可以沿图12中的反方向？（正交分解看水平方向平衡——不可以。）容易判断，图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形ΔAOB是相似的，所以：RABGF⑴由胡克定律：F=k（AB-R）⑵几何关系：AB=2Rcosθ⑶解以上三式即可。答案：arccos)GkR(2kL。（学生活动）思考：若将弹簧换成劲度系数k′较大的弹簧，其它条件不变，则弹簧弹力怎么变？环的支持力怎么变？答：变小；不变。（学生活动）反馈练习：光滑半球固定在水平面上，球心O的正上方有一定滑轮，一根轻绳跨过滑轮将一小球从图13所示的A位置开始缓慢拉至B位置。试判断：在此过程中，绳子的拉力T和球面支持力N怎样变化？解：和上题完全相同。答：T变小，N不变。4、如图14所示，一个半径为R的非均质圆球，其重心不在球心O点，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的A点和地面接触；再将它置于倾角为30°的粗糙斜面上，平衡时球面上的B点与斜面接触，已知A到B的圆心角也为30°。试求球体的重心C到球心O的距离。解说：练习三力共点的应用。根据在平面上的平衡，可知重心C在OA连线上。根据在斜面上的平衡，支持力、重力和静摩擦力共点，可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单。答案：33R。（学生活动）反馈练习：静摩擦足够，将长为a、厚为b的砖块码在倾角为θ的斜面上，最多能码多少块？解：三力共点知识应用。答：ctgba。4、两根等长的细线，一端拴在同一悬点O上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为m1和m2，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为45和30°，如图15所示。则m1:m2为多少？解说：本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。对两球进行受力分析，并进行矢量平移，如图16所示。首先注意，图16中的灰色三角形是等腰三角形，两底角相等，设为α。而且，两球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，设为F。对左边的矢量三角形用正弦定理，有：singm1=45sinF①同理，对右边的矢量三角形，有：singm2=30sinF②解①②两式即可。答案：1：2。（学生活动）思考：解本题是否还有其它的方法？答：有——将模型看成用轻杆连成的两小球，而将O点看成转轴，两球的重力对O的力矩必然是平衡的。这种方法更直接、简便。应用：若原题中绳长不等，而是l1：l2=3：2，其它条件不变，m1与m2的比值又将是多少？解：此时用共点力平衡更加复杂（多一个正弦定理方程），而用力矩平衡则几乎和“思考”完全相同。答：2：32。5、如图17所示，一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为μ），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力。试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？解说：这是一个典型的力矩平衡的例题。以球和杆为对象，研究其对转轴O的转动平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为f，支持力为N，重力为G，力矩平衡方程为：fR+N（R+L）=G（R+L）①球和板已相对滑动，故：f=μN②解①②可得：f=RLR)LR(G再看木板的平衡，F=f。同理，木板插进去时，球体和木板之间的摩擦f′=RLR)LR(G=F′。答案：FRLRRLR。第四讲摩擦角及其它一、摩擦角1、全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力，一般用R表示，亦称接触反力。2、摩擦角：全反力与支持力的最大夹角称摩擦角，一般用φm表示。此时，要么物体已经滑动，必有：φm=arctgμ（μ为动摩擦因素），称动摩擦力角；要么物体达到最大运动趋势，必有：φms=arctgμs（μs为静摩擦因素），称静摩擦角。通常处理为φm=φms。3、引入全反力和摩擦角的意义：使分析处理物体受力时更方便、更简捷。二、隔离法与整体法1、隔离法：当物体对象有两个或两个以上时，有必要各个击破，逐个讲每个个体隔离开来分析处理，称隔离法。在处理各隔离方程之间的联系时，应注意相互作用力的大小和方向关系。2、整体法：当各个体均处于平衡状态时，我们可以不顾个体的差异而讲多个对象看成一个整体进行分析处理，称整体法。应用整体法时应注意“系统”、“内力”和“外力”的涵义。三、应用1、物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。解说：这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目。可以通过不同解法的比较让学生留下深刻印象。法一，正交分解。（学生分析受力→列方程→得结果。）法二，用摩擦角解题。引进全反力R，对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移，得到图18中的左图和中间图（注意：重力G是不变的，而全反力R的方向不变、F的大小不变），φm指摩擦角。再将两图重叠成图18的右图。由于灰色的三角形是一个顶角为30°的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底边……故有：φm=15°。最后，μ=tgφm。答案：0.268。（学生活动）思考：如果F的大小是可以选择的，那么能维持物体匀速前进的最小F值是多少？解：见图18，右图中虚线的长度即Fmin，所以，Fmin=Gsinφm。答：Gsin15°（其中G为物体的重量）。2、如图19所示，质量m=5kg的物体置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F=30N的推力推物体，使物体能够沿斜面向上匀速运动，而斜面体始终静止。已知斜面的质量M=10kg，倾角为30°，重力加速度g=10m/s2，求地面对斜面体的摩擦力大小。解说：本题旨在显示整体法的解题的优越性。法一，隔离法。简要介绍……法二，整体法。注意，滑块和斜面随有相对运动，但从平衡的角度看，它们是完全等价的，可以看成一个整体。做整体的受力分析时，内力不加考虑。受力分析比较简单，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。答案：26.0N。（学生活动）地面给斜面体的支持力是多少？解：略。答：135N。