对斜面上最佳抛射问题的进一步研究

摘要本文对斜面上的最佳抛射问题作了进一步研究，计算出了射高和运动时间。关键词最佳抛射角射程射高运动时间文献[1]已对斜面上斜抛运动的最佳抛射角和射程公式作了推导，比如在图1中，最佳抛射角2450，射程sin1120gvs；在图3中最佳抛射角2450，射程sin-1120gvs。本文对这个问题作进一步研究，计算抛体的射高和运动时间。1.计算射高物体P被抛出后沿抛物线运动，抛物线所在平面与斜面的交线为OA，如图2所示。当物体沿抛物线运动到坐标为（x，y）的点时，从它向直线OA作垂线PB交OA于点B，PB即垂直于斜面。设PB的长度为h，如果是在最佳抛射条件下，仍把h的最大长度叫“射高”（y值不一定最大），它可以这样来求：将直线OA的方程tanxy变换为00cotyx，结合抛体运动方程)(cos2)tan(2202vgxxy，利用点到直线的距离计算公式便得222202)cot(10])(cos2)tan()[cot(vgxxxh为求h的最大值，将h对x求导数并使其等于零0]])(cos)[tan(cot1[sin]])(cos2)tan([cot[sincot1])(cos2)tan([cot220220222202vgxvgxxxdxdvgxxxdxddxdh解这个方程得驻点]tan))[tan((cos220gvxh将其代入h的表达式中，即得射高]]tan))[tan((cos)(cos2)tan(]tan))[tan((cos[cot]tan))[tan((cossin24240220220220maxgvvggvgvh给出已知条件，用手持计算器很容易算出射高的具体数值。2.计算运动时间总运动时间可以这样来求：总tvxs)cos(cos0)cos()sin1(cos)cos(cossin11)cos(cos00200gvvgvvst总物体自抛出运动到“最高点”（y值不一定最大）所用时间为αθ0Asvxvyxy图10v对斜面上最佳抛射问题的进一步研究]tan))[tan(cos()cos(]tan))[tan((cos)cos(002200gvvgvvxthh显然，总tth21。即在“最高点”（y值不一定最大）两侧，抛体运动时间是不相等的。3.沿斜面下降方向抛物体若物体沿斜面下降方向抛出，如图3所示。这时直线OA的方程tan-xy，变换为00cotyx，结合抛体运动方程)-(cos2)-tan(2202vgxxy，利用点到直线的距离计算公式得222202cot10])-(cos2)-tan([cotvgxxxh将h对x求导数并使其等于零0]])-(cos)-[tan(cot1[sin]])-(cos2)-tan([cot[sincot1])-(cos2)-tan([cot220220222202vgxvgxxxdxdvgxxxdxddxdh解这个方程得驻点]tan)-)[tan(-(cos220gvxh将其代入h的表达式中，即得射高]]tan)-)[tan(-(cos)-(cos2)-tan(]tan)-)[tan(-(cos[cot]tan)-)[tan(-(cossin24240220220220maxgvvggvgvh给出已知条件，用手持计算器也很容易算出射高的具体数值。总运动时间的计算：总tvxs)-cos(cos0)-cos()sin-1(cos)-cos(cossin-11)-cos(cos00200gvvgvvst总物体自抛出运动到“最高点”（y值不一定最大）所用时间为]tan)-)[tan(-cos()-cos(]tan)-)[tan(-(cos)cos(002200gvvgvvxthh显然，总tth21。即在“最高点”（y值不一定最大）两侧，抛体运动时间是不相等的。在斜面上向任意方位抛射物体，射高与运动时间的计算方法与此相同。αθ0Asvxvyxy图20vPBhP0图3vxθAsvyxy0vh95