九年级数学竞赛专题讲座-二次函数的图像与性质(含答案)

九年级数学竞赛--二次函数的图像与性质一、内容概述二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结1．定义：形如函数2(0)yaxbxca称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.2．图像二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.3．性质对2(0)yaxbxca的图像来讲，（1）开口方向：当0a时，抛物线开口向上；当0a时，抛物线开口向下。（2）对称轴方程：2bxa（3）顶点坐标：24,24bacbaa（4）抛物线与坐标轴的交点情况：若240bac，则抛物线与x轴没有交点；若240bac，则抛物线与x轴有一个交点；若240bac，则抛物线与x轴有两个交点，分别为24(,0)2bbaca，24(,0)2bbaca；另外，抛物线与y轴的交点为0,c.（5）抛物线在x轴上截出的距离为：22bbaaa（6）y与x的增减关系：当0a，2bxa时，y随x的增大而增大，2bxa时，y随x的增大而减小；当0a，2bxa时，y随x的增大而减小，2bxa时，y随x的增大而增大.（7）最值：当0a时，y有最小值，当2bxa时，244acbya最小值＝；当0a时，y有最大值，当2bxa时，244acbya最大值＝（8）若抛物线与x轴两交点的横坐标为1x、2x（12xx），则：当0a时，12xxx时，0y；12xxxx或时，0y；当0a时，12xxx时，0y；12xxxx或时，0y.4．求解析式抛物线的解析式常用的有三种形式：（1）一般式：2(0)yaxbxca（2）顶点式：2()(0)yaxhka，其中(,)hk是抛物线的顶点坐标。（3）交点式：12()()(0)yaxxxxa，交点式只在抛物线与x轴有交点时才用到，式中1x、2x是抛物线与x轴交点的横坐标。解题时，视情况和需要，一般选用这三种形式中的一种或两种就可以了。二、例题解析例1设抛物线为21yxkxk，根据下列各条件，求k的值。（1）抛物线的顶点在x轴上；（2）抛物线的顶点在y轴上；（3）抛物线的顶点1,2；（4）抛物线经过原点；（5）当1x时，y有最小值；（6）y的最小值为1.解：（1）2k；（2）0k；（3）1k；（4）1k；（5）2k；（6）0k或4k例2设直线ykxb与抛物线2yax的两个交点的横坐标分别为1x和2x，且直线与x轴交点的横坐标为3x，求证：123111xxx.解：由题意得1x和2x为方程2kxbax的两个根，即20axkxb，∴12kxxa，12bxxa∴12121211xxkxxxxb∵直线与x轴交点的横坐标为：3kxb∴31bxk∴123111xxx例3二次函数2yaxbxc，当12x时，有最大值25，而方程20axbxc的两根、，满足3319，求a、b、c。解：设二次函数2()(0)yaxhka，∵当12x时，有最大值25，即：顶点为1,252∴2211()252524yaxaxaxa由已知得：212504axaxa的两根为、，满足3319∴2()()319根据两根之和与两根之积的关系解得4a∴24424yxx，即4a，4b，24c.例4证明：无论a取任何实数值时，抛物线211(1)24yxaxa是通过一个定点，而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上。证明：222111111(1)()()()244222yxaxaxxaxxax当12x时，1()0,02axy即无论a取任何实数时，已知抛物线总通过点M1,02又2221111(1)2424ayxaxaxa故抛物线的顶点坐标为211,24aa即21214axya，消去a得，21()2yx这条曲线是一条抛物线，即原抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上.例5已知抛物线2(0)yaxbxca过0,4,2,2两点，若抛物线在x轴上截得的线段最短时，求这时的抛物线解析式。解：∵抛物线过0,4,2,2两点，∴代入解析式得23,4bac所以22(23)4yaxbxcaxax∴此抛物线在x轴上截得的线段长可表示为222316494(0)aaaaaa∴当142299a，即92a时，抛物线在x轴上截得的线段最短，将92a代入23ba，得12b∴抛物线的解析式是291242yxx例6如果二次函数2yaxbxc的图像的顶点坐标是2,4，且直线4yx依次与y轴和抛物线相交于P、Q、R三点，PQ:QR=1:3，求这个二次函数解析式。解：∵图像的顶点坐标是2,4，所以可设2(2)4yax（1）P点的坐标是0,4，设Q、R点的坐标为11,xy和22,xy，则114yx，224yx∴222211111(0)(4)2PQxyxxx，22222(0)(4)2PRxyx∵PQ:QR=1:3且P在QR之处，∴PQ:PR=PQ:（PQ+QR）＝1:4即12x:22x=1:4,∴2x=41x（2）又12,xx是抛物线与直线交点的横坐标∴22(2)44,4(41)40axxaxaxa∴241(4)0aaxxa由韦达定理，得1212441xxaxxa由（3）得，12,xx同号，再由（2），得214xx∴121,4xx，从（4）得1a或19a（3）（4）∴248yxx或21432999yxx例7已知：抛物线2yxpxq交x轴于点A、B，交y轴于点C，又∠ACB=90°,tan∠CAO－tan∠CBO＝2.（1）求抛物线的解析式。（2）设平行于x轴的直线交抛物线于点M、N，是否存在以MN为直径且与x轴相切的圆？如果不存在，说明理由；如果存在，求出圆的半径。分析：（1）欲求抛物线的解析式，即求p、q的值，一方面，p、q与方程20xpxq的两根有联系，另一方面q等于线段OC的长，而2OCOAOB,且OA、OB又是方程20xpxq的两根的绝对值，这就使p与q能建立联系，从中求出p、q；（2）本例是存在型问题，如果存在满足题设条件的圆，从图形直观看出；圆心必定在抛物线的对称轴上，且半径是圆心的纵坐标的绝对值。解（1）设A、B两点的横坐标分别为12,xx，则12,xx是方程20xpxq的两个根，且120xx，12xxp，120xxq∵在Rt△ABC中，OC为斜边AB上的高，∴212OCOAOBxxq又∵22OCq∴2qq因为抛物线不经过原点，∴0,1qq故由三角函数的定义和120xx，易得：tan∠CAO＝11OCAOxtan∠CBO＝21OCBOx由题设，得121212112xxxxxx，则12122xxxx∵1212,1xxpxxq∴p＝2故抛物线得解析式为221yxx（2）设点M、N的坐标为34,,,xrxr，则34,xx是方程221rxx，即2210xxr的两个根。∴34342,1xxxxr∴2343434()444(1)22MNxxxxxxrr∵圆与x轴相切（假设圆存在）∴12MNr，即2rr解方程得：1212rr或∴所求圆的半径为1或2.说明：本例是代数、三角、几何的综合题，涉及二次函数、方程、三角函数和Rt△等多方面的知识.CABOxy训练题班级姓名学号1．二次函数(2)(21)yxx图像抛物线的顶点坐标是_________，对称轴方程_________，与x轴交点坐标_________，与y轴交点坐标_________；当x＝_________时，y的最______值等于_________，当x_________时，y随x增大而减小；当_________时，0y；当_________时，0y。2．函数2233(2)mmymx是x的二次函数，且抛物线开口向下，则m________。3．若2yxbxc的图像与x轴两个交点间的距离为4，图像经过点2,3，则此二次函数的解析式为____________。4．把抛物线21(2)12yx向左平移3个单位，再向下平移2个单位，就得到抛物线______________。5．已知二次函数2yaxbxc的图像如右图，则下列6个代数式：,,,,abacabcabc2ab，2ab中，其值为正的式子的个数为______个。6．如下图，函数21yxx的图像（实线部分）大致形状是（）7．如下图，已知函数yaxb和2(0)yaxbxca，那么它们的图像可以是（）8．已知：二次函数2(21)(53)35ymxmxm（1）m为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；（2）m为何值时，这两个交点再原点的左右两边；（3）m为何值时，此抛物线的对称轴是y轴；（4）m为何值时，这个二次函数有最大值54.1OyxxyBxyCxyDxyAxAOyDOyxCOyxBOyx9．已知：二次函数2224yxmxm的图像与x轴有两个交点A、B，顶点为C，若△ABC的面积为42，求m的值。10．已知抛物线2(0)yaxbxca经过点A1,0，对称轴方程是3x，顶点为B，直线ykxm经过A、B两点，它与坐标轴围成的三角形的面积为2，求一次函数ykxm和二次函数2yaxbxc的解析式。11．抛物线2(0)yaxbxca的图像如图所示：（1）判断2,,,4abcbac的符号；（2）当OAOB时，求,,abc满足的关系。12．如图，顶点坐标为1,9的抛物线交x轴于点A2,0、B两点，交y轴于点C，过A、B、C三点的⊙'O交y轴于另一点D，交抛物线于另一点P，过原点O且垂直于AD的直线交AD于点H，交BC于点G。（1）求抛物线的解析式和点G的坐标；（2）设直线xm交抛物线于点E，交直线OG于点F，是否存在实数m，使G、P、E、F为一个平行四边形的四个顶点？如果存在，求出m的所有值；如果不存在，请说明理由。BACOyx-214.54xyABCDHPOG参考答案1．325(,)48，34x，1,0202和，，02，－，34x，小，258，34x，当122xx或，当122x；2．1m；3．223yxx或265yxx；4．21(1)12yx；5．有2个0,0abcac6．C7．C8．（1）12m；（2）3152m；（3）35m；（4）452m9．22mm或10．当4m＝时，44yx，221210yxx；当4m＝-时，44yx，221210yxx11．（1）0,0ac0；（2）10acb12．（1）228yxx，G2,4（2）当2m时，直线EF与PG重合，不能当223mm或时，可以。