数学竞赛的内容与方法

1全国高中数学竞赛的内容与方法全国高中数学竞赛的内容与方法全国高中数学竞赛的内容与方法全国高中数学竞赛的内容与方法一．一．一．一．数学竞赛的发展历程数学竞赛的发展历程数学竞赛的发展历程数学竞赛的发展历程中国数学竞赛活动的发展曲折，至今已经经历了两个时期，走过了三个阶段：第一阶段，从1956年至1964年，这是高中数学联赛的开始阶段；第二阶段，从1978年至1985年，是高中数学联赛的发展阶段；第三阶段，从1985年至今，是高中数学联赛成熟并取得辉煌的阶段.我们讲的高中数学联赛，主要是讲第三阶段.经过几十年的艰苦摸索和实践检验，中国数学奥林匹克竞赛活动积累了成熟的经验，形成了一套适合我国国情、相对稳定而又不断丰富的做法，归纳如下：1．目的：（1）提高学生的学习数学的兴趣，推动课外活动的发展；（2）促进中学数学教学改革；（3）发现和培养人才；（4）为参加国际数学竞赛做准备.2.原则（1）民办公助；（2）精简节约；（3）自愿参加.3.时间每年10月份中旬的第一个星期天举行全国高中数学联赛，每年4月中旬的第一个星期天举行全国初中数学联赛.全国小学数学奥林匹克竞赛初赛、决赛分别在每年的3月、4月举行.4.主办由各省、市、自治区数学会轮流举办.年份主办方1981北京1982上海1983安徽1984贵州1985天津25.奖励由中国数学会表彰各省、市、自治区参加联赛的前150名，发给统一的证书和奖章.高中数学一等奖获得者可以保送到名牌、重点高校.其中我们山东省每年一等奖获得者大约有40人.如不愿被保送，在参加普通高等学校招生考试时，总分加20分.6.试题试题由各省、市、自治区数学会提供，经东道省精选出所需题量的2-3倍，最后由全国1986四川1987河南1988江西1989湖南1990吉林1991江苏1992广东1993浙江1994湖北1995广西1996黑龙江1997湖南1998福建1999安徽2000辽宁2001江苏2002吉林2003陕西2004海南2005江西2006浙江2007天津2008重庆3命题工作会议定稿.贯彻“大众化、普及型、不超纲、不超前”的原则.7.冬令营为选拔和培训我国的IMO队员，自1986年起，每年的元月由中国数学奥林匹克委员会举办一次参加全国中学生数学冬令营.营员来自各省的高中数学联赛第一名及其它联赛成绩优异者，计百人左右.虽然冬令营期间有参观、专家报告等活动，但核心是进行两天的模拟IMO考试，选拔出二三十名国家集训队队员.集训后1个月产生6名国家队队员.全国中学生数学冬令营从1991年（第六届）起也叫做“中国数学奥林匹克”（简称CMO）.8.大纲与教材为保证中国数学奥林匹克活动的健康发展，中国数学会于1992年制定了“高中数学竞赛大纲”和“初中数学竞赛大纲”，并出版了相应的数学奥林匹克基础教程.随着国际奥林匹克竞赛和国内基础教育的课程改革的推进，相应工作会议作出与时俱进行的调整，现将最近一次的调整内容列出，以方便大家学习：高中数学竞赛大纲（高中数学竞赛大纲（高中数学竞赛大纲（高中数学竞赛大纲（2006200620062006年修订试用稿）年修订试用稿）年修订试用稿）年修订试用稿）中国数学会普及工作委员会制定中国数学会普及工作委员会制定中国数学会普及工作委员会制定中国数学会普及工作委员会制定(2006(2006(2006(2006年年年年8888月第月第月第月第14141414次全国数学普及工作会议讨论通过次全国数学普及工作会议讨论通过次全国数学普及工作会议讨论通过次全国数学普及工作会议讨论通过))))从1981年中国数学会普及工作委员会举办全国高中数学联赛以来，在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，每年一次的竞赛活动吸引了广大青少年学生参加.1985年我国又步入国际数学奥林匹克殿堂，加强了数学课外教育的国际交流，20年来我国已跻身于国际数学奥林匹克强国之列.数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用.这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行积极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力.数学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组成部分.为了使全国数学竞赛活动持久、健康地发展，中国数学会普及工作委员会于1994年制定了《高中数学竞赛大纲》.这份大纲的制定对高中数学竞赛活动的开展起到了很好的指导作用，使我国高中数学竞赛活动日趋规范化和正规化.近年来，课程改革的实践，在一定程度上改变了我国中学数学课程的体系、内容和要求.4同时，随着国内外数学竞赛活动的发展，对竞赛试题所涉及的知识、思想和方法等方面也有了一些新的要求.为了使新的《高中数学竞赛大纲》能够更好地适应高中数学教育形势的发展和要求,经过广泛征求意见和多次讨论,中国数学会普及工作委员会组织了对《高中数学竞赛大纲》的修订.本大纲是在教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》的精神和基础上制定的.该教学大纲指出：“要促进每一个学生的发展，既要为所有的学生打好共同基础，也要注意发展学生的个性和特长；……在课内外教学中宜从学生的实际出发，兼顾学习有困难和学有余力的学生，通过多种途径和方法，满足他们的学习需求，发展他们的数学才能.”学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、富有个性的过程，不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导阅读自学、自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性.教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导.教师应引导学生主动地从事数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学的思想和方法，获得广泛的数学活动经验.对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们设置一些选学内容，提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能.教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的基本要求.在竞赛中对同样的知识内容，在理解程度、灵活运用能力以及方法与技巧掌握的熟练程度等方面有更高的要求.“课堂教学为主，课外活动为辅”也是应遵循的原则.因此，本大纲所列的内容充分考虑到学生的实际情况，旨在使不同程度的学生都能在数学上得到相应的发展，同时注重贯彻”少而精”的原则.全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高.全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理.5三角形中的几个特殊点:旁心、费马点，欧拉线.几何不等式.几何极值问题.几何中的变换：对称、平移、旋转.圆的幂和根轴.面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法.2.代数周期函数，带绝对值的函数.三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数.递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式.第二数学归纳法.平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数.复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根.多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*.n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理.函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*.4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式.组合计数，组合几何.抽屉原理.容斥原理.极端原理.图论问题.集合的划分.覆盖.平面凸集、凸包及应用*.6注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考.二．竞赛数学的内容与方法二．竞赛数学的内容与方法二．竞赛数学的内容与方法二．竞赛数学的内容与方法数学竞赛的开展导致了竞赛数学的产生，竞赛开始的那些年头，其内容主要是中学数学教材中的代数方程、平面几何、三角函数等，经过40余年的发展，已形成一个源于中学又高于中学数学的新层面，其思想方法日渐与现代数学潮流合拍.通过对《竞赛大纲》研究和对1-46届高中数学的IMO试题与CMO试题统计研究可以看出，竞赛数学正相对稳定在几个重点内容上，总体来说，可以归纳为四大支柱、三大热点.四大支柱：代数、几何、初等数论、组合初步（俗称代数题、几何题、算术题和智力题）；三大热点：组合几何、组合数论、集合分拆.我国的冬令营、CMO等试题与国际发展是完全一致的，高中竞赛试题的内容也以中学数学教材为依托逐渐与国际潮流接轨.1.代数代数是中学数学的主体内容，其在竞赛中占据重要地位是理所当然的，已广泛涉及恒等变形、方程、函数、多项式、不等式、数列、复数、函数与方程、矩阵等方方面面，近些年来，试题的主要特点是：（1）出现集中的趋势从最近几年的高中联赛（二试），特别是对IMO及CMO的研究可以看出，近十几年以来，难度较小的问题（如恒等变形、单一的解方程等）消失了，明显超出中学范围的问题（如矩阵等）也消失了，代数问题正在向不等式、数列、函数与方程上集中.这表明，高中数学竞赛（二试）的命题趋向是，既在努力避开有求解程工的内容、提高试题难度，又在尽力地避免超出中学生知识范围，而在思维的灵活性、创造性上做文章.（2）运算与论证的综合中学代数偏重于运算，并且常常有程序化、机械化的优势（运算是机械化的推理）.作为高层次的竞赛，停留在运算熟练和准确上是不够的，因而IMO、CMO及高中数学联赛的代数题常以抽象论证题的面目出现，并且时间也允许进行大数字、多字母、多环节的硬运算.一方面精确的运算为推理提供论据，另一方面，论证推理又提出演算需要，两者相辅相成.从理解题意开始，到运算结构的分析、运算阶段的连接，乃至整个解题程序的调控，都有运算与论证的交互推进.这构成了IMO、CMO及高中联赛（二试）代数题的一个发展趋势，也体现着代数思维的一般性和从过程到对象（凝聚）等特征.7（3）与数论、组合、几何的交叉代数知识在各个学科中都有基础作用，无论哪一门中学数学分支都少不了代数运算.IMO、CMO及高中数学联赛（二试）试题在避开常规代数题的同时，正在加强与各个学科的综合，不等式不仅有大量的数列不等式、最优化背景的不等式、而且越来越多的几何不等式、数论不等式、组合不等式；方程知识也在数论问题、几何问题或其他离散问题中屡屡出现.2.几何欧几里得几何中虽然古老，但在提供几何直觉和逻辑推理方面仍有其不可替代的教育价值，因而历来受到数学竞赛的青睐，平面几何问题已经成为属于IMO、CMO及高中数学联赛（二试）考题的必考题型.而在高中数学联赛二试的三道试题中，平面几何往往又是最为简单的一道试题，因而在所有参加高中数学联赛的同学都有一种体会“得几何者得天下”.高中数学联赛中的平面几何试题可以分为三个层次：第一层次，是与中学数学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性强，从而成为了编撰竞赛试题的最好的素材.第二层次，是比中学数学要求稍高的内容，与共点性、共线性、几何不等式、几何极值等，这些问题的结构优美，解法灵活、常与几何名题相联系.第三个层次，是组合几何.这是利用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质.所牵涉的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质.这类问题在第6届IMO试题中就出现了，但近20年以来，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为了一