九年级(上)数学竞赛试题(含答案)-

九年级培优生选拔数学竞赛试卷(满分１２０分，考试时间１２０分钟)一、选择题:（每题５分，共３０分）1．将正偶数按下表排成5列第一列第二列第三列第四列第五列第一行2468第二行16141210第三行182O2224第四行…………2826……则200８应该排在()A．第251行，第5列B．第250行，第3列C．第500行，第2列D．第501行，第1列２．如图，在一个棱长为6cm的正方体上摆放另一个正方体，使得上面正方体的四个顶点恰好均落在下面正方体的四条棱上，则上面正方体体积的可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个３．轮船在河流中逆流而上，下午５时，船长发现轮船上的一橡皮艇失落水中，船长马上命令掉转船头寻找，经过了一个小时追上了顺流而下的橡皮艇。如果轮船在整个过程中的动力不变，那么据此判断，轮船失落橡皮艇的时间为（）A．下午１点B．下午２点C．下午３点D．下午４点４．某同学用牙膏纸盒制作一个如图所示的笔筒，笔筒的筒底为长4.5厘米，宽3．4厘米的矩形。则该笔筒最多能放半径为0．4厘米的圆柱形铅笔(）A．20支B.2l支C．24支D．25支第４题图５．对于直角坐标平面内的任意两点Ａ（x1,y1）,B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：第２题图∣∣ＡＢ∣∣＝∣x2-x1∣+∣y2-y1∣，给出下列三个命题：①若点Ｃ在线段ＡＢ上，则∣∣ＡＣ∣∣＋∣∣ＣＢ∣∣＝∣∣ＡＢ∣∣②在⊿ＡＢＣ中，若∠Ｃ＝９０°，则∣∣ＡＣ∣∣2＋∣∣ＣＢ∣∣2＝∣∣ＡＢ∣∣2③在⊿ＡＢＣ中，∣∣ＡＣ∣∣＋∣∣ＣＢ∣∣﹥∣∣ＡＢ∣∣其中真命题的个数为（）Ａ．０个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．３个６．已知一元二次方程ax2＋bx＋c=0两根为x1、x2，x2+x1=-ba,x2.x1=ca.如果抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，2），若abc＝4，且a≥b≥c，则|a|＋|b|＋|c|的最小值为（）。Ａ．５Ｂ．６Ｃ．７Ｄ．８二、填空题（每题５分，共３５分）７．已知，y=4cosxsinx＋2cosx－2sinx－1,0≤x≤90°.问x为__________值时，y可以取非负值.８．有一块半径为Ｒ的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ＡＢＣＤ的形状，它的下底ＡＢ是圆Ｏ的直径，且底ＣＤ的端点在圆周上，试写出梯形周长y和腰长x的函数关系式__________.９．在⊿ＡＢＣ中，ＡＢ＝１５，ＡＣ＝１３，ＢＣ边上的高ＡＤ＝１２，能完全覆盖⊿ＡＢＣ的圆的半径Ｒ的最小值为____________.10．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=l,若李华在点A朝着影子的方向以v1匀速行走，则他影子的顶端在地面上移动的速度v2为____________.11．如图，延长四边形ＡＢＣＤ的四边分别至Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ，使ＡＢ＝nＢＥ，ＢＣ＝nＣＦ，ＣＤ＝nＤＧ，ＤＡ＝nＡＨ(n﹥0)，则四边形ＥＦＧＨ与四边形ＡＢＣＤ的面积之比为____________(用含n的代数式表示)．12．已知ABC△中，C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC与C之间的关系为____________．ＦＨＥＢＤＣＡＧPOBAC13．设以边形A1A2A3…An中，有m个点B1，B2，B3，…，Bm，连接它们成一张互相毗邻的三角形网(n=6，m=4时的情形如图)，称每个小三角形为一个“网眼，求网中共有__________个“网眼”(用含n，m的代数式表示)．三．解答题（１４题１２分，１５题１３分，１６题１４分，１７题１６分，共５５分）14．（1２分）有１０个不同的球，其中有２个红球，３个白球，５个黄球。若取得１个红球得５分；取得１个白球得２分；１个黄球得１分。今从中取出５个球，求使总分大于１０分且小于１５分的取法有多少中？15．（1３分）在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素对应相等，这两个三角形也未必全等。⑴试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长。⑵为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）。16.（1４分）对于某一自变量为x的函数，若当x=x0时，其函数值也为x0，则称点(x0，x0)为此函数的不动点．现有函数y=bxax3，(1)若y=bxax3有不动点(4，4)，(一4，-4)，求a，b．(2)若函数y=bxax3的图像上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件．(3)已知a=4时，函数y=bxax3仍有两个关于原点对称的不动点，则此时函数y=bxax3的图像与函数y=35x的图像有什么关系?与函数y=x5的图像又有什么关系?17．（1６分）(1)如图，直线AB交x轴于点A(2，0)，交抛物线y＝ax2于点B(1，3)，点C到△OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D。当x＞0时，在直线OC和抛物线y＝ax2上是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为特殊的梯形？若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由。(2)：在(1)题中，抛物线的解析式和点D的坐标不变(如图)。当x＞0时，在直线y＝kx(0＜k＜1)和这条抛物线上，是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为以OD为底的等腰梯形。若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由。(第(1)题图)ABCDOxy((2)图)DOxy参考答案一、选择题1-6：ADDBBB二、填空题7：0≤x≤３0°8：y=-x2/R+2x+4R9：７.５10：hllvv1211：(n2+2n+2)：n12：3ABCC或1803ABCC或90ABC，C为小于45的任意锐角或31354ABCC．13：S(n,m)=n+2m-214：设取红球、白球、黄球分别为x,y,z个,０≤x≤２，０≤y≤３，０≤z≤５则１０﹤５x＋２y＋z﹤１５，x＋y＋z＝５，分类：①当x＝０时，y不存在②当x＝１时，１﹤y﹤６，取y＝２，３③当x＝２时，－３﹤y﹤２，取y＝０，１取法总数为１１０种15：⑴如下图，△ABC与△CBA是相似的（相似比为2），但它们并不全等，显然它们之中有五对元素是对应相等的。2222ABCA′B′C′122⑵容易知道，要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的。设小△ABC的三边长分别为a、b、c，且不妨设a＜b＜c，由小△ABC到大△CBA的相似比为k，则k＞1。∵△CBA的三边长分别为ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc∴在△ABC中，与△CBA中两边对应相等的两条边只可能是b与c∵b＜c＜kc∴在△CBA中，与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb∴kbckab∴由a到b、由b到c应具有相同的放大系数（用高中的数学语言来讲，a、b、c成公比为k的等比数列），这个系数恰为△ABC与△CBA的相似比k。下面考虑相似比k所受到的限制：∵△ABC的三边长分别为akkaa2、、，且a＞0，k＞1∴akkaa2＞解之得1＜k＜251（注：251≈1.168）因此构造反例时，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再设定一个1～1.168之间的放大系数k，从而写出另外两条边的长akka2、。然后在△ABC的基础上，以前面的放大系数k为相似比，再写出另一个△CBA的三边长akakka32、、。通过这种方法，可以构造出大量符合题意的反例。16：(1)由题意，得解得(2)令bxax3=x，得3x+a=x2+bx(x≠-b)即x2+(b—3)x-a=O．设方程的两根为x1，x2，则两个不动点(x1，x2)，(x2，x2)，由于它们关于原点对称，所以x1+x2=0，∴04)3(032abb，解得30ba，又因为x≠-b，即x≠-3，所以以a≠9，因此a，b满足条件a0且a≠9，b=3．(3)由(2)知b=3，此时函数为y=343xx，即y=3-35x．∴函数y=343xx的图像可由y=-35x的图像向上平移3个单位得到．又函数y=-35x的图像可由函数y=-x5的图像向左平移3个单位得到，所以函数y=343xx的图像可由函数y=-x5的图像向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到．17：如图(1)AB:y=-3x+23Y=3X2E(1,0)C(1,3/3)OC:Y=3/3xAC:Y=Y=3/3x+23/2OD=23/3当ODPQ时,(1)DQ=OP时,四边形DOPQ为等腰梯形如图(1)由题意得,三角形OCD为等边三角形,所以Q是AD与抛物线的交点-3/3x+23/3=3x2Q(2/3,43/9),P(2/3,23/9)(2)∠ODQ=900时,四边形DOPQ为直角梯形如图(2)√Q(√6/3,2√3/3)P(√6/3,√2/3)当DQ//OP时(1)OD=PQP(2,2√3/3)(2)∠OPQ=900时P(3/2,√3/2)所以P1(2/3,2√3/9),Q1(2/3,4√3/9),P2(2,2√3/3),Q2（1,√3）,P3(√6/3,√2/3)Q4(√6/3,2√3/3),P4(3/2,√3/2),Q4(1,√3)(2)Q(√3(-K+√K2+8)/6,√3(K2-K√K2+8+4)/6)P(√3(-K+√K2+8)/6,√3(-K2+K√K2+8)/6)ABCDOxyEABCDOxyE