数学竞赛习题精选

全国数学竞赛试题精选（每题6分，共120分）1.若x,y满足等式x=1+y1和y=1+x1且xy≠0，那么y的值是（c）（A）x－1.（B）1－x.（C）x.（D）1+x.2.互不相等的三个正数a,b,c恰为一个三角形的三条边，则用下列的三个数为长度的线段一定能作成三角形的是().(A)a1，b1，c1.(B)a2,b2,c2.(C)cba,,.(D)accbba,,.解：根据“三角形任意两边和必须大于第三边”的定理，找到适当的特殊值：当a=3,b=4,c=5时，可以排除(B)（∵32+42=52）；也可以排除和(D)（∵1+1=2）；如果a=2,b=6,c=7时，则(A)也可以排除，（∵716121）.故选(C).3.计算21+32+23+52+…+1099结果为（）。A．10B．9C．8D．74.△ABC中，AB=AC=2，BC边有100个不同点P1，P2，……，P100，记mi=APi2+Bpi×PiC(i=1,2,3,……,100).则m1+m2+……+m100=＿＿＿＿＿＿＿＿.4005.已知：69，90，125除以正整数n有相同的余数.则：n=______解：∵69≡90(modn)，90≡125(modn).∴n|(90－69)，n|(125－90).而21,35的最大公约数是7，记作(21,35)=7(7是质数).∴n=76.已知a是实数且使aa=x,则x=＿＿0＿＿.7.已知xx1＝8，则xx12＝＿＿62＿＿.8.已知：3x2+2y2=6x,x和y都是实数，求：x2+y2的最大、最小值.解：由已知y2=2362xx,∵y是实数，∴y2≥0.即2362xx≥0，6x－3x2≥0，x2－2x≤0.解得0≤x≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2+y2=x2+2362xx=－21(x－3)2+29在区间0≤x≤2中，当x=2时，x2+y2有最大值4.∴当x=0时，x2+y2=0是最小值.9.a取什么值时，方程12ax无解？②有3个解？③两个解？解：画出函数y=1-2x和y=a的图象，它们的交点就是方程的解.∵直线y=a平行于横轴.∴①当a＜－1时，直线y=a与y=1-2x没有交点，即方程无解；②当a＝1时，直线y=1与.y=1-2x恰好有3个公共点，即方程12ax有3个解.；③.当a=－1或a1时，y=a与y=1-2x都有2个公共点，就是方程有2个解.10.已知：如图△ABC中，AD是高，AB＋DC＝AC＋BD.求证：AB＝AC.证明：设AB＝c，AC＝b,BD=m,DC=n.根据勾股定理得.2222mbncmcnb；.))(())((nbmcmcmcnbnb；.mncbmcnb；.cbmnbcmn；∴c－b=b－c，b=c.即AB＝AC.nmbcABCD11.已知：23)2)(3(22xCxBxAxxxxx求：A，B，C的值.解：去分母，得x2－x+2=A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).根据恒等式定义（选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值），当x=0时，2＝－6A.∴A＝－31.当x=3时，8＝15B.∴B＝158.当x=－2时，8＝10C.∴C＝54.12.已知：a+b+c=0,abc≠0.求代数式222222222111bacacbcba的值（1989年泉州市初二数学双基赛题）分析：这是含a,b,c的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式.解：∵2221cba＝222)(1baba＝ab21，∴222222222111bacacbcba＝－ab21－bc21－ca21＝－abcbac2＝0.13.四位外国朋友，他们都会说英、法、日、汉四种语言中的2种，有一种语言三个人会说，但没有一种大家都会说的语言.还知道：①A会讲日语，D却不会，但他们用同一种语言交谈；②B不会讲英语，当A、C交谈时，他当翻译；③B、C、D三人谈时，没有一种共同的语言；④四人中没有一人既会讲日语，又会讲法语.试问A，B，C，D四人各会讲何种语言.解：用1表示会说，0表示不会说该种语言，答案列表如右：14.已知：,141ca且a1,4c都是整数.求a,c的值.项目ABCD英语0011法语0110日语1000汉语1101解0,141,01ca.4,2;4,05,1cacaca；15.比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小.16.解方程1112xxx=x.解：设11xx=y,那么y2=2x+212x.原方程化为：y－21y2=0.解得y=0；或y=2.当y=0时，11xx=0(无解)当y=2时，11xx=2，解得，x=45.17.化简625.我们把5－26写成2－232＋3＝2)2(－232＋2)3(＝（2－3）2.18.因式分解：a2b2－a2+4ab－b2+1.解：a2b2－a2+4ab－b2+1＝a2b2+2ab+1+(－a2+2ab－b2)（折项，分组）＝（ab+1）2－(a－b)2（配方）＝（ab+1+a-b）(ab+1-a+b)（用平方差公式分解）19、设关于x的一次函数11bxay与22bxay，则称函数)()(2211bxanbxamy（其中1nm）为此两个函数的生成函数．（1）当x=1时，求函数1xy与xy2的生成函数的值；（2）若函数11bxay与22bxay的图象的交点为P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．解：（1）当x=1时，)2()1(xnxmy)12()11(nmnm22)(2nm，∵1nm，∴2y．（2）点P在此两个函数的生成函数的图象上．设点P的坐标为（a，b），∵bbaa11，bbaa22，∴当x=a时，)()(2211bxanbxamy)()(2211baanbaamnbmbbnmb)(，即点P在此两个函数的生成函数的图象上．20、如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．（1）若BD平分∠ABC，求证CE=12BD；（2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。EDCBA