初中数学竞赛精品标准教程及练习21：比较大小

初中数学竞赛精品标准教程及练习（21）比较大小一、内容提要1．比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质：当a－b＞0时，a＞b；当a－b＝0时，a=b；当a－b＜0时a＜b。2．通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。3．需要讨论的可借助数轴，按零点分区。4．实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a是实数，则a2≥0，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如(a－b)2≥0，a2+1＞0，a2+a+1=(a+21)2+43＞0－a2≤0，－（a2+a+2）＜0当a≠b时，－（a－b）2＜0二、例题例1试比较a3与a的大小解：a3－a=a(a+1)(a－1)a3－a=0,即a3=a以－1，0，1三个零点把全体实数分为4个区间，由负因数的个数决定其符号：当a＜－1时，a+1＜0,a＜0,a－1＜0（3个负因数）∴a3－a＜0即a3＜a当－1＜a＜0时a＜0,a－1＜0（2个负因数）∴a3－a＞0即a3＞a当0＜a＜1时，a－1＜0（1个负因数）∴a3－a＜0即a3＜a当a＞1时，没有负因数，∴a3－a＞0即a3＞a综上所述当a=0,－1，1时，a3=a当a＜－1或0＜a＜1时，a3＜a当－1＜a＜0或a＞1时，a3＞a。（试总结符号规律）例2什么数比它的倒数大？解：设这个数为x，则当并且只当x－x1＞0时，x比它的倒数大，x－x1＝xxxxx)1)(1(12－101以三个零点－1，0，1把实数分为4个区间，由例1可知当x＞1或－1＜x＜0时，x比它的倒数大。例3己知步行的速度是骑车速度的一半，自行车速度是汽车速度的一半，甲、乙两人同时从A去B，甲乘汽车到中点，后一半用歩行，乙全程骑自行车，问誰先到达？解：设从A到B有x千米，步行速度每小时y千米，那么甲、乙走完全程所用时间分别是t甲＝yxyxyx85242，t乙＝yx4t甲－t乙＝yxyxyx83485∵x＞0，y＞0∴t甲－t乙＞0答：乙先到达B地例4己知a≠b≠c，求证：a2+b2+c2＞ab+bc+ca证明：a2+b2+c2－ab+bc+ca＝21×2（a2+b2+c2－ab+bc+ca）＝21（2a2+2b2+2c2－2ab+2bc+2ca）＝21［（a-b）2+(b-c)2+(c-a)2］∵a≠b≠c，（a-b）2＞0，(b-c)2＞0，(c-a)2＞0∴a2+b2+c2＞ab+bc+ca又证：∵a≠b，∴（a-b）2＞0a2+b2＞2ab(1)同理b2+c2＞2bc(2)c2+a22ca(3)(1)+(2)+(3)得2a2+2b2+2c2＞2ab+2bc+2ca即a2+b2+c2＞ab+bc+ca例5比较3（1＋a2+a4）与(1+a+a2)2的大小解：3（1＋a2+a4）－(1+a+a2)2＝3［（1＋a+a2）2-2a-2a2-2a3］－(1+a+a2)2＝2(1+a+a2)2－6a(1＋a+a2)=2(1＋a+a2)(1＋a+a2-3a)=2(1＋a+a2)(1-a)2∵1＋a+a2＝（43)212a＞0，(1-a)2≥0∴当a=1时，3（1＋a2+a4）＝(1+a+a2)2当a≠1时，3（1＋a2+a4）＞(1+a+a2)2例6解方程4212xx解：以－0.5,和2两个零点分为3个区间当x-0.5时，－(2x+1)－(x-2)=4,解得x=－1当－0.5≤x2时，（2x+1）－（x-2）=4,解得x=1当x≥2时，（2x+1）+(x－2)＝4解得x=35,∴在x≥2范围无解综上所述原方程有两个解x=－1,x=1三、练习211．己知a0,b0,且a+b0.试把a,b,0及其相反数记在数轴上。并用“＜”号把它们连接。2．比较下列各组中的两个数值的大小：①a4与a2②1aa与21aa3．什么数的平方与立方相等？什么数的平方比立方大？4．甲乙两人同时从A去B，甲一半路程用时速a千米，另一半路程用时速b千米；乙占总时间的一半用时速a千米,另一半时间用时速b千米,问两人誰先到达？5．己知abcd0且a∶b=c∶d，试比较a+c与b+d的大小6．己知ab,xy.求证：ax+byay+bx7．己知abc,xyz求证：①ax+by+czaz+bx+cy②ax+by+czaz+bx+cy(提示：可应用第6题的结论)8．己知ab0,下列不等式，哪些能成立？不能成立的，请举个反例。①ba11②ab1③1ba④a－2b09.若a,b,c都是大于－1的负数，（即－1＜a,b,c0下列不等式哪些不能成立？试各举一个反例。①a+b－c0②(abc)21③a2-b2-c20④abc-110.水池装有编号为①②③④⑤的5条水-管，其中有的是进水管，有的是出水管，同时开放其中的两条水管，注满水池所用的时间列表如下开放的水管号①②②③③④④⑤⑤①时间（小时）2156310问单独开放哪条水管能最快注満水池？答：＿＿＿练习21参考答案：1.b-a0a-b2.①用求差法：a4-a2=a2(a+1)(a-1)…。②)2)(1(12aaa……3.a2-a3=a2(1-a)……4.t甲－t乙＝)(2)(2baabsbaa=b时同时到达，a≠b时，乙先到5.由已知c=bad(a+d)-((b+c)=bdbba))((0……6.(ax+by)-(ay+bx)=……7.运用上一题的结论8.只有①成立，②③④都可以a=－2,b=-－3作为反例9.只有④成立10.（4）