数学竞赛与二次函数(2)

数学竞赛与二次函数（3）17．（2013全国竞赛）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒１个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．（1）点B的坐标为；用含t的式子表示点P的坐标为；（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0t6）；并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的31？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．18.（2013全国竞赛）如图，抛物线32bxaxy，顶点为E，该抛物线x与轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA。直线131xy与y轴交于点D，求∠DBC－∠CBE.OABCPNMxyOABCxy（备用图）(第17题图)ABCDEO19.（2014全国联赛）设实数,ab满足22(1)(2)40abbba，(1)8abb，求2211ab的值20.（2014全国联赛）设n是整数，如果存在整数,,xyz满足3333nxyzxyz，则称n具有性质P.（1）试判断1，2，3是否具有性质P；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P的数有多少个？21.（2014全国竞赛初试已知二次函数cbxaxy2的图像经过点A（1x，0）、B（2x，0）、C（2，m），且1202xx.（1）求证：0m；（2）若1b，求证：1m22．（2012天津）已知抛物线y=x2+mx+n经过点（2，-1），且与x轴交于两点A(a,0),B（b,0）,若点P为该抛物线的顶点，求使△APB面积最小时抛物线的解析式。