上海市黄浦区2016届高三上学期期末调研测试数学（理）试题

黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷（理科）2016年1月考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码；3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．不等式|1|1x的解集用区间表示为．(0,2)2．函数22cossinyxx的最小正周期是．3．直线321xy的一个方向向量可以是．(2,1)4．若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为．325．若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．126．若函数sinyax在区间[,2]上有且只有一个零点，则a．17．若函数22()1fxxax为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为．(1,)8．若对任意不等于1的正数a，函数2()xfxa的反函数的图像都过点P，则点P的坐标是．(1,2)9．在()nab的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为（结果用数字作答）．7010．在△ABC中，若cos(2)sin()2ACBBCA，且2AB，则BC．2211．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天恰好为连续2天的概率是（结果用最简分数表示）．2512．已知kZ，若曲线222xyk与曲线xyk无交点，则k．1[来源:Z+xx+k.Com]13．已知点(,0)Mm（0m）和抛物线C：24yx，过C的焦点F的直线与C交于A、B两点，若2AFFB，且||||MFMA，则m．11214．若非零向量a，b，c满足230abc，且abbcca，则b与c的夹角为．4二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知复数z，“0zz”是“z为纯虚数”的[答](B)．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．已知xR，下列不等式中正确的是[答](C)．A．1123xxB．221111xxxxC．221112xxD．2112||1xx17．已知P为直线ykxb上一动点，若点P与原点均在直线20xy的同侧，则k、b满足的条件分别为[答](A)．A．1k，2bB．1k，2bC．1k，2bD．1k，2b18．已知1a，2a，3a，4a是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零．若线段1l，2l，3l，4l的长分别为1a，2a，3a，4a，则[答](C)．A．对任意的d，均存在以1l，2l，3l为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以1l，2l，3l为三边的三角形C．对任意的d，均存在以2l，3l，4l为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以2l，3l，4l为三边的三角形三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知三棱柱ABCABC的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA的长为10．（1）若侧棱AA垂直于底面，求该三棱柱的表面积．（2）若侧棱AA与底面所成的角为60，求该三棱柱的体积．[解]（1）因为侧棱AA底面ABC，所以三棱柱的高h等于侧棱AA的长，而底面三角形ABC的面积162SACBC，（2分）周长43512c，（4分）于是三棱柱的表面积2132ABCSchS全．（6分）（2）如图，过A作平面ABC的垂线，垂足为H，AH为三棱柱的高．（8分）因为侧棱AA与底面所成的角为60，所以60AAH，可计算得sin6053AHAA．（9分）又底面三角形ABC的面积6S，故三棱柱的体积653303VSAH．（12分）20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边、OA为终边的角设为，将OA绕坐标原点逆时针旋转2至AxyOB1ABCABCHOB．（1）用表示A、B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MAMB，求点M横坐标的取值范围．[解]（1）由题设，A点坐标为(cos,sin)，（2分）其中222kk（kZ）．（3分）因为2AOB，所以B点坐标为cos,sin22，即(sin,cos)．（5分）（2）设(,0)Mm（0m），于是(cos,sin)MAm，(sin,cos)MBm，[来源:Zxxk.Com]因为MAMB，所以0MAMB，即(cos)(sin)sincos0mm，（8分）整理得2(cossin)0mm，由0m，得cossin2cos4m，（10分）此时222kk，且24k，于是22444kk，且242k（kZ）得22cos242，且cos04．因此，点M横坐标的取值范围为(1,0)(0,1)．（12分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形池塘OEF，E、F分别在AB、BC边上．5OA米，4OC米，4EOF，设CFx，AEy．（1）试用解析式将y表示成x的函数；（2）求三角形池塘OEF面积S的最小值及此时x的值．[解]（1）直角三角形AOE中，tan5yAOE，直角三角形COF中，tan4xCOF．[来源:Z#xx#k.Com]正方形OABC中，由4EOF，得4AOECOF，于是tan()1AOECOF，代入并整理得5(4)4xyx．（4分）因为05x≤≤，04y≤≤，所以5(4)044xx≤≤，从而449x≤≤．（6分）因此，5(4)4xyx（449x≤≤）．（2）()OABCOAEOCFEBFSSSSS1154[54(4)(5)](20)22yxyxxy，（8分）将5(4)4xyx代入上式，得25(16)532(4)82(4)24xSxxx，（10分）当449x≤≤时，324824xx≥，当且仅当4(21)x时，上式等号成立．（12分）因此，三角形池塘OEF面积的最小值为20(21)平方米，此时4(21)x米．（14分）OABCFE22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆：22221xyab（0ab），过原点的两条直线1l和2l分别与交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S．（2）若直线1l和2l关于y轴对称，上任意一点P到1l和2l的距离分别为1d和2d，当2212dd为定值时，求此时直线1l和2l的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆221xy内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．[解]（1）因为ACBD为正方形，所以直线1l和2l的方程为yx和yx．（1分）点A、B的坐标11(,)xy、22(,)xy为方程组2222,1yxxyab的实数解，将yx代入椭圆方程，解得22221222abxxab．[来源:学|科|网Z|X|X|K]根据对称性，可得正方形ACBD的面积22212244aSbabx．（4分）（2）由题设，不妨设直线1l的方程为ykx（0k），于是直线2l的方程为ykx．设00(,)Pxy，于是有2200221xyab，又0012||1kxydk，0022||1kxydk，（6分）222222200000012222()()22111kxykxykxyddkkk，将2220021xyba代入上式，得22222222000222212222212211xbkxbkxbaaddkk，（8分）对于任意0[,]xaa，上式为定值，必有2220bka，即bka，（9分）因此，直线1l和2l的斜率分别为ba和ba，此时222212222abddab．（10分）（3）设AC与圆221xy相切的切点坐标为00(,)xy，于是切线AC的方程为001xxyy．点A、C的坐标11(,)xy、22(,)xy为方程组22220011xyxxyyab的实数解．①当00x或00y时，ACBD均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有22111ab．（11分）②当00x且00y时，将001(1)yxxy代入22221xyab，整理得2222222220000()2(1)0byaxxxaxaby，于是222012222200(1)abyxxbyax，（13分）同理可得222012222200(1)baxyybyax．（15分）因为ACBD为菱形，所以AOCO，得0AOCO，即12120xxyy，（16分）于是22222200222222220000(1)(1)0abybaxbyaxbyax，整理得22222200()ababxy，由22001xy，得2222abab，即22111ab．（18分）综上，a，b满足的关系式为22111ab．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知1a，2a，…，na是由n（*nN）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列{}nb满足1kkbna（1,2,,kn），1c，2c，…，nc是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，记122nnSccnc．（1）证明：当n为正偶数时，不存在满足kkab（1,2,,kn）的数列{}na．（2）写出kc（1,2,,kn），并用含n的式子表示nS．（3）利用22212(1)(2)()0nbbnb≥，[来源:Z§xx§k.Com]证明：1212(1)(21)6nbbnbnnn≤及122nnaanaS≥．（参考：222112(1)(21)6nnnn．）[证明]（1）若kkab（1,2,,kn），则有1kkana，于是12kna．（2分）当n为正偶数时，1n为大于1的正奇数，故12n不为正整数，因为1a，2a，…，na均为正整数，所以不存在满足kkab（1,2,,kn）的数列{}na4分[解]（2）(1)kcnk（1,2,,kn）．（6分）因为(1)kcnk，于是122nnSccnc[(1)1]2[(1)2][(1)]nnnnn222(12)(1)(12)nnn2111(1)(1)(21)(1)(2)266nnnnnnnn．（10分）[证明]（3）先证121(1)(21)62nnnbbnbn≤．222222222121212(