上海市静安区2015届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题

静安区2014学年第一学期高三年级高考数学模拟理卷（试卷满分150分考试时间120分钟）2014.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合0,2xxyyM，)2lg(2xxyxN，则NM.2．设8877108)1(xaxaxaax，则8710aaaa.3．不等式01271x的解集是.4．如图，在四棱锥ABCDP中，已知PA底面ABCD，1PA，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为6，则该四棱锥的体积是.5．已知数列na的通项公式1222nnna（其中*Nn），则该数列的前n项和nS.6．已知两个向量a，b的夹角为30°，3a，b为单位向量，btatc)1(,若cb=0，则t=.7．已知11)(xxxf，45)2(xf(其中)0x，则x.8．已知△ABC的顶点)6,2(A、)1,7(B、)3,1(C，则△ABC的内角BAC的大小是.（结果用反三角函数值表示）9．若、是一元二次方程0322xx的两根，则11=.10．已知tan、tan是方程04332xx的两根，、)2,2(，则=.11．直线l经过点)1,2(P且点)1,2(A到直线l的距离等于1，则直线l的方程是.12．已知实数x、y满足1yx，则xy2的取值范围是.13．文：同理12理：一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是.14．两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分.两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有名高二年级的学生参加比赛.（结果用数值作答）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．在下列幂函数中，是偶函数且在),0(上是增函数的是()ABCDPA．2xy；B．21xy；C．31xy；D．32xy16．已知直线06)2(3:1ykxl与直线02)32(:2ykkxl，记32)2(3kkkD.0D是两条直线1l与直线2l平行的()A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件17．已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数1zi的点是()A．MB．NC．PD．Q18．到空间不共面的四点距离相等的平面个数为()A．1个；B．4个；C．7个；D．8个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足baA23sin.（1）求B的大小；（2）若7b，ABC的面积334ABCS，求ac的值.20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.某地的出租车价格规定:起步费a元，可行3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且bc），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确1234-11231-1-2-3-4-2-3P1Q1N1M1A1x1y1定.（1）若取14a，4.2b，6.3c，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x(公里)之间的函数关系式)(xfy.21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，长方体1111DCBAABCD中，2ADAB，41AA，点P为面11AADD的对角线1AD上的动点（不包括端点）.PM平面ABCD交AD于点M，BDMN于点N.（1）设xAP，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与11CA所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）ABCDA1B1C1D1PMN22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数)1(log)(2xxxfa（其中1a）.（1）判断函数)(xfy的奇偶性，并说明理由；（2）文：求函数)(xfy的反函数)(1xfy；理：判断nmnfmf)()(（其中Rnm,且0nm）的正负号，并说明理由；（3）若两个函数)(xF与)(xG在闭区间],[qp上恒满足2)()(xGxF，则称函数)(xF与)(xG在闭区间],[qp上是分离的.试判断)(xfy的反函数)(1xfy与xaxg)(在闭区间]2,1[上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由.23．(本题满分16分)文：本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.理：本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分3分，第3小题满分7分.在数列na中，已知12a，前n项和为nS，且2)(1aanSnn.（其中*Nn）（1）求数列na的通项公式；（2）求2limnSnn；（3）设nnnab31lg，问是否存在正整数p、q（其中qp1），使得1b，pb，qb成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组),(qp；否则，说明理由.静安区2014学年第一学期高三年级高考数学模拟文理合卷参考答案一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．理：)2,0(；文：121；2.理：25628；文：)2,0(3.理：)4,21(；文：nn22；4.理：21；文：455.理：)212(4nn；文：)4,21(；6.理：2，文：256287.理：221log2x；文：3；8.55arccos；文：549.理：31；文：2；10.32；文：10103arccos（或31arctan）11.理：03213yx或03213yx；文：3112．理：]2,2[；文：03213yx或03213yx13.理：12S；文：]2,2[；14.理：228nCnk．7或者14；文：12S二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．D；16．B；17．D；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（1）根据正弦定理BbAasinsin，得bBbaAsin23sin，所以23sinB，………（4分）又由角B为锐角，得3B；…………………………（6分）（2）BacSABCsin21，又334ABCS，所以3ac，…………………………（8分）根据余弦定理Baccabcos2222，得1037cos2222Bacbca，…………………………（12分）所以accaca2)(222=16，从而ac=4．…………………………（14分）20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.（1）他应付出租车费26元；……………………………（4分）（2）　,)10(107c)013(3b)30(,xcbaxxbaxxay文21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.（1）因为点P为面11AADD的对角线1AD的中点.PM平面ABCD，所以PM为△1ADD的中位线，得1PM，又BDMN，所以2222MDNDMN………………（2分）因为在底面ABCD中，BDACBM,DN，所以ACMN//，又ACCA//11，PNM为异面直线PN与11CA所成角的平面角，………………（6分）在△PMN中，PMN为直角，2tanPNM，所以2arctanPNM。即异面直线PN与11CA所成角的大小为2arctan。………………………（8分）（2）2222BN，………………………（9分）BNMNPMVBMNP2131，………………………（12分）计算得三棱锥BMNP的体积为41。………………………（14分）理21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（1）在△APM中，552xPM，55xAM；………………………（2分）其中520x；………………………（3分）在△MND中，)552(22xMN，…………………………（4分）在△PMN中，2552109PN2xx，)52,0(x……………………………（6分）（2）当952x)52,0(时，PN最小，此时34PN．……………………………（8分）因为在底面ABCD中，BDACBM,DN，所以ACMN//，又ACCA//11，PNM为异面直线PN与11CA所成角的平面角，…………………（11分）在△PMN中，PMN为直角，42tanPNM，所以42arctanPNM，异面直线PN与11CA所成角的大小42arctan（或31arcsin等）……………（14分）22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.（1）因为012xxxx，所以函数)(xfy的定义域为实数集R；…………………………（1………………（6分）………………（10分）………………（14分）分）又0)1(log)1(log)1(log)()(2222xxxxxxxfxfaaa，所以函数)(xfy是奇函数．…………………………（4分）（2）因为1a，所以)1(log)(2xxxfa在),0[上递增，以下给出证明：任取210xx，设12111xxu，22221xxu，则)(11212221222121xxxxxxuu=0)111)((22212121xxxxxx，所以210uu，即1021uu，0log)()(2121uuxfxfa．……………………（6分）又)1(log)(2xxxfa为奇函数，所以)()(nfnf且)1(log)(2xxxfa在),(上递增．所以)(nmnm与)()()()(nfmfnfmf同号，0)()(nmnfmf．所以，当1a时，0)()(nmnfmf．……（8分）（3）xxaaxf2121)(1，Rx…………………………（10分）22121xxxaaa在区间]2,1[上恒成立，即2121xxaa，或41xxaa在区间]2,1[上恒成立，…………………………（12分）令tax因为1a，],[2aatax，tt1在],[2aat递增，所以41)1(minaatt，解得32a；所以，),32(a．…………………………（16分）文：(1)同理22（1）；（2）由012xx且当x时012xx，当x时