初中数学竞赛讲座

2009年全国初中数学竞赛讲座数与式、方程、应用性问题数与式、方程、应用性问题是初中竞赛的主体内容，比重占到二分之一强.涉及到这部分内容的选择题、填空题特点是“小、巧、活”，解答题则基础、厚重.复习这部分内容的有效方法是对照中国数学会普及工作委员会制定的初中数学竞赛大纲(2006年修订试用稿)，逐条训练、理解、掌握.下面选取近几年的全国初中竞赛试题对这部分内容作一些剖析，以重难点、解题方法为主线，期望既能在试题的剖析中领悟、消化这些方法，又能把握全国初中数学竞赛试题的脉络.以下例题中(2001-2)指的是(2001年全国初中竞赛第2题)，其他类同.一、数与式问题1.奇偶性分析、整除性分析[例1](2001-2)如果cba,,是三个任意整数，那么2,2,2accbba()．(A)都不是整数(B)至少有两个整数(C)至少有一个整数(D)都是整数[解答]三个整数中至少有两个同奇偶，这两个数的和即为偶数，和的一半即为整数，故选C.[点评]近年来单独考查奇偶性的试题较少，多数是将奇偶性分析、整数问题融入到其他知识中去解决问题，是一个重要的“题眼”，更多的例题可参考后面的“方程的整数根问题”.[例2](2007-5)方程323652xxxyy的整数解(x，y)的个数是()．(A)0(B)1(C)3(D)无穷多[解答]原方程可化为2(1)(2)3(1)(1)2xxxxxyyy（），因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(A).[点评]本题的“题眼”有两个：一是对方程两边“局部分解因式”，构造三个连续整数的乘积；二是对方程两边作3的整除性分析.2.把握结构，代数式的整体处理代数式的结构千变万化，我们便于解决（能够解决）的总是那些结构特殊的代数式，这就意味着：我们总是要整体把握问题中代数式的特殊结构.具体来讲，又可细分为：(1)整体用元(换元)，整体化简、求值[例3](2006-2)已知21m，21n，)763)(147(22nnamm=8，则a的值等于()．(A)－5(B)5(C)－9(D)9[解答]由已知可得122mm，122nn．又)763)(147(22nnamm=8，所以8)73)(7(a,解得a=－9.选C．[点评]本题整体代入122mm与122nn，回避了根式运算，这是根式问题的一个常用手段（根式问题的常用手段还有分母、分子有理化等）.[例4](2001-12)已知实数ba,满足2222,1baabtbaba且，那么t的取值范围是.[解答]题中两式相加，得21abt；两式相减，得2212tab.因为222abab，所以112tt且112tt，解得133t.[点评]本题视22,abab为两个独立的整体，利用它们之间的关系222abab构造不等式，获得t的范围.关于变量,ab的几种常见代数结构之间存在特定的不等关系：222,01122ababababab，即均值不等式；还存在特定的等量关系：22212ababab22212abab2214abab，同学们都应有所了解.(2)整体实施相加、相乘、相除[例5](2003-7)若实数x，y，z满足41yx，11zy，371xz，则xyz的值为.[解答]本题的参考答案是：解法1：因为34371137137111114xxxxxxzzxzxyx，所以37)34()34(4xxxx，解得23x.从而353237137xz，5253111zy.于是1355223xyz.显然不及下面的方法简单、漂亮：解法2：三式相加，得111223xyzxyz；三式相乘，得1111283xyzxyzxyzxyz.两式相减，得12xyzxyz，则1xyz.[点评]参考答案是用消元法解三元方程组，思路简单、过程复杂；我们的解法思路巧妙、过程简洁，这其实要归功于对三元结构的理解与把握，三个变量,,xyz的常见代数结构有：222111,,,,xyzxyzxyyzzxxyzxyz等.[例6](2007-4)已知三个关于x的一元二次方程02cbxax，02acxbx，02baxcx恰有一个公共实数根，则222abcbccaab的值为()．(A)0(B)1(C)2(D)3[解答]设0x是它们的一个公共实数根，则0020cbxax，0020acxbx，0020baxcx．把上面三个式子相加，并整理得200()(1)0abcxx．因为22000131()024xxx，所以0abc．于是222333333()abcabcababbccaababcabc3()3abababc．选(D)．3.判定代数式的符号与配方法[例7](2002-4)设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋3，y＝b2－2c＋3，z＝c2－2a＋3，则x、y、z中至少有一个值()．(A)大于0(B)等于0(C)不大于0(D)小于0[解答]因为x+y+z＝a2－2a+b2－2b+c2－2c＋，配方，得2221113xyzabc0，所以，x、y、z中至少有一个值大于0，选A.[点评]配方法的基本功能是构造非负式、构造平方式.本题通过对和式xyz配方，判定和式为正，从而说明其中至少有一个加式为正.[例8](2005-2)若M＝3x2－8xy+9y2－4x+6y+13(x,y是实数)，则M的值一定是().(A)正数(B)负数(C)零(D)整数[解答]因为M＝3x2－8xy+9y2－4x+6y+1322222884469xxyyxxyy2222223xyxy0，显然20,2,3xyxy不能同时成立，所以，0M，选A.[点评]配方是数学竞赛的一项基本功，需要借助一定的拆项、凑配技巧.4.分解因式[例9](2004-8)已知实数a、b、x、y满足2yxba，5byax，则)()(2222yxabxyba.[解答]由2yxba，两式相乘，得4))((bxaybyaxyxba，∵5byax，∴1bxay.分解因式，得5))(()()(2222byaxbxayyxabxyba.[点评]本题用到了将对称式分解因式，分解起来规律性很强，即分解的结果也一定对称.再比如，前面例6中得到200()(1)0abcxx，也是对称式分解因式的结果.[例10](2007-5)见例题2.[解答]见例题2.[点评]本题对方程两边作“局部分解因式”，目的是为了构造三个连续整数的乘积，很有特色.5.数列求和问题与裂项相消法[例11](2005-4)设22211148()34441004A，则与A最接近的正整数是()．(A)18(B)20(C)24(D)25[解答]当n≥3时，有211111422422nnnnn,所以22211148()34441004A1111114814526981021111111121234991001011021111251299100101102,因为11111111411212129910010110299999999992，所以与A最接近的正整数是25，选D.[点评]数列求和问题是一类基本问题，裂项相消法则是其中一个基本方法，要特别注意裂项后哪些项没有抵消.当然，只有符合一定的特点的式子（数列）才能裂项，常见的裂项有：1111nnkknnk；111nnnn等.[例12](2007-10)已知对于任意正整数n，都有312naaan，则23100111111aaa．[解答]当n≥2时，有3121naaaann，3121(1)naaan，两式相减，得2331nann，所以),111(31)1(3111nnnnan,4,3,2n因此23100111111aaa11111111(1)()()323233991001133(1)3100100．[点评]本题也属于裂项相消法求和问题，与例13不同的是，本题要先找到通式211133nann，而且求通式的方法也值得我们借鉴：如果记12nnSaaa，那么111,2.nnnanaSSn二、方程问题1.解方程的基本方法——消元法[例13](2007-1)方程组12,6xyxy的解的个数为()．(A)1(B)2(C)3(D)4[解答]若x≥0，则12,6,xyxy于是6yy，显然不可能．若0x，则12,6,xyxy于是18yy，解得9y，进而求得3x．所以，原方程组的解为,9,3yx只有1个解．故选(A)．[点评]解决多元方程、多变量问题的基本方法是消元.本题为消元，果断地对x的符号展开讨论，去掉x中的绝对值符号.2.二次方程根与系数的关系[例14](2004-1)已知实数ba，且满足)1(33)1(2aa，2)1(3)1(3bb.则baaabb的值为().(A)23(B)23(C)2(D)13[解答]∵,ab是关于x的方程03)1(312xx的两个根，整理此方程，得0152xx，∵0425，∴5ba，1ab.故a、b均为负数.因此232222ababbaababbaabbaababbaaabb.选(B).[点评]设12,xx是二次方程的根，则利用根与系数的关系，可以解决诸如12kkxx，1211xx，2112xxxx等问题，但要注意前提条件0.另外，有的竞赛试题还要求我们自己构造二次方程，如本题构造根为,ab的方程03)1(312xx，若构造根为1,1ab的方程2330xx则过程要多走弯路，读者不妨一试.3.二次方程根的分布问题(留在函数专题讲解)4.三元最值问题与构造判别式法[例15](2003-14B)已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.(1)求a，b，c中的最大者的最小值；(2)求cba的最小值.[解答](1)不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a0，且b+c=2-a，abc4.于是b，c是一元二次方程04)2(2axax的两实根，aa44)2(2≥0，164423aaa≥0，)4)(4(2aa≥0.所以a≥4.又当a=4，b=c=-1时，满足题意.故a，b，c中最大者的最小值为4.(2)因为abc0，所以a，b，c为全大于0或一正二负.若a，b，c均大于0，则由(1)知，a，b，c中的最大者不小于4，这与a+b+c=2矛盾.若a，b，c为一正二负，设a0，b0，c0，则22)2(aaacbacba,由(1)知a≥4，故2a-2≥6，当a=4，b=c=-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立.故cba的最小值为6.[点评]本题的三个关键点值得我们借鉴：①由,,abc的对称性，假定a≥b，a≥c（当然也可假定a