上海市浦东新区建平中学2016-2017学年高一（上）期中数学试卷

2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|x≤2}，则P∩Q=．2．集合{1，2，3}的真子集的个数为．3．不等式≥0的解集．4．设α：x＞m，β：1≤x＜3，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是．5．已知a，b，c是实数，写出命题“若a+b+c=0，则a，b，c中至少有两个负数”的等价命题：．6．若a＞0，b＞0，3a+2b=1，则ab的最大值是．7．设全集U=R，A=，则A∩（∁UB）=．8．已知正数x，y满足，则4x+9y的最小值为．9．若不等式的解集为（1，2），则实数a的值是．10．关于x的不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围为．11．若A={x|mx2+x+m=0，m∈R}，且A∩R=∅，则实数m的取值范围为．12．用M[A]表示非空集合A中的元素个数，记|A﹣B|=，若A={1，2，3}，B={x||x2﹣2x﹣3|=a}，且|A﹣B|=1，则实数a的取值范围为．二、选择题：（每小题4分，共16分）13．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．14．已知a，b∈R+，那么“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥a2﹣4a的解集为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．（﹣∞，1）∪（3，+∞）C．[1，3]D．（1，3）16．在下列条件中：①b2﹣4ac≥0；②ac＞0；③ab＜0且ac＞0；④b2﹣4ac≥0，＞0中能成为“使二次方程ax2+bx+c=0的两根为正数”的必要非充分条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解不等式组：．18．设全集U=R，集合A=．（1）求集合B；（2）若A⊆（∁UB），求实数a的取值范围．19．某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本y万元与年产量x吨之间的关系可可近似地表示为y=﹣30x+4000．（1）若每年的生产总成本不超过2000万元，求年产量x的取值范围；（2）求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨的最低成本．20．已知M={x|1＜x＜3}，N={x|x2﹣6x+8≤0}．（1）设全集U=R，定义集合运算△，使M△N=M∩（∁UN），求M△N和N△M；（2）若H={x||x﹣a|≤2}，按（1）的运算定义求：（N△M）△H．21．已知函数f（x）=ax2﹣2x+c，且f（x）＞0的解集是．（1）求f（2）的最小值及f（2）取最小值时f（x）的解析式；（2）在f（2）取得最小值时，若对于任意的x＞2，f（x）+4≥m（x﹣2）恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|x≤2}，则P∩Q={1，2}．【考点】交集及其运算．【分析】由P与Q，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵P={1，2，3，4}，Q={x|x≤2}，∴P∩Q={1，2}，故答案为：{1，2}2．集合{1，2，3}的真子集的个数为7．【考点】子集与真子集．【分析】集合{1，2，3}的真子集是指属于集合的部分组成的集合，包括空集．【解答】解：集合的真子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，∅．共有7个．故答案为7．3．不等式≥0的解集（，1]．【考点】其他不等式的解法．【分析】依题意可得①或②，分别解之，取并即可．【解答】解：∵≥0，∴①或②解①得：x∈∅；解②得：＜x≤1，∴不等式≥0的解集为（，1]．故答案为：（，1]．4．设α：x＞m，β：1≤x＜3，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m的范围即可．【解答】解：α：x＞m，β：1≤x＜3，若α是β的必要条件，则m＜1，故答案为：（﹣∞，1）．5．已知a，b，c是实数，写出命题“若a+b+c=0，则a，b，c中至少有两个负数”的等价命题：若a，b，c中至多有1个非负数，则a+b+c≠0．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】命题的逆否命题为若a，b，c中至多有1个非负数，则a+b+c≠0，即可得出结论．【解答】解：命题的逆否命题为若a，b，c中至多有1个非负数，则a+b+c≠0，故答案为若a，b，c中至多有1个非负数，则a+b+c≠0．6．若a＞0，b＞0，3a+2b=1，则ab的最大值是．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：a＞0，b＞0，3a+2b=1，∴1=3a+2b≥2，当且仅当a=，b=时取等号，∴ab≤，∴ab的最大值是，故答案为：7．设全集U=R，A=，则A∩（∁UB）={x|2＜x≤4}．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式求出集合A、B，根据补集与交集的定义写出A∩（∁UB）．【解答】解：全集U=R，A={x|＜1}={x||x﹣1|＞1}={x|x＜0或x＞2}；B={x|x2﹣5x+4＞0}={x|x＜1或x＞4}，∴∁UB={x|1≤x≤4}，∴A∩（∁UB）={x|2＜x≤4}．故答案为：{x|2＜x≤4}．8．已知正数x，y满足，则4x+9y的最小值为25．【考点】基本不等式．【分析】将足代入所求关系式，利用基本不等式即可求得答案．【解答】解：（4x+9y）（+）=4+9++≥13+2=25，当且仅当x=，y=时取等号，故4x+9y的最小值为25故答案为：259．若不等式的解集为（1，2），则实数a的值是．【考点】其他不等式的解法．【分析】由题意可得原不等式为（x﹣1）（x﹣）＜0，即可求出a的值．【解答】解：等价于﹣1＞0，等价于＞0，等价于（x﹣1）[（a﹣1）x+1]＞0，∵不等式的解集为（1，2），∴原不等式为（x﹣1）（x﹣）＜0，∴=2，解得a=，故答案为：10．关于x的不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【分析】分类讨论，即可求出a的取值范围【解答】解：根据题意，x﹣a＜0的解为x＜a，当a＞0时，ax＜1的解为x＜，此时解集显然不为空集，当a=0时，ax＜1的解为R，此时解集显然不为空集，当a＜0时，ax＜1的解为x＞，∵关于x的不等式组的解集不是空集，∴≤a，即a2≤1，解得﹣1≤a＜0，综上所述a的取值范围为[﹣1，+∞）故答案为：[﹣1，+∞）．11．若A={x|mx2+x+m=0，m∈R}，且A∩R=∅，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．【考点】交集及其运算．【分析】由已知得mx2+x+m=0无解，从而，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵A={x|mx2+x+m=0，m∈R}，且A∩R=∅，∴mx2+x+m=0无解，∴，解得m＜﹣或m＞．∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．12．用M[A]表示非空集合A中的元素个数，记|A﹣B|=，若A={1，2，3}，B={x||x2﹣2x﹣3|=a}，且|A﹣B|=1，则实数a的取值范围为0≤a＜4或a＞4．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】根据已知条件容易判断出a=0符合，a＞0时，由集合B得到两个方程，x2﹣2x﹣3﹣a=0或x2﹣2x﹣3+a=0．容易判断出B有2个或4个元素，所以判别式△=4﹣4（a﹣3）＜0或△=4﹣4（a﹣3）＞0，这样即可求出a的范围．【解答】解：（1）若a=0，得到x2﹣2x﹣3=0，∴集合B有2个元素，则|A﹣B|=1，符合条件|A﹣B|=1；（2）a＞0时，得到x2﹣2x﹣3=±a，即x2﹣2x﹣3﹣a=0或x2﹣2x﹣3+a=0；对于方程x2﹣2x﹣3﹣a=0，△=4+4（3+a）＞0，即该方程有两个不同实数根；又|A﹣B|=1，B有2个或4个元素；∴△=4﹣4（a﹣3）＜0或△=4﹣4（a﹣3）＞0；∴a＜4或a＞4．综上所述0≤a＜4或a＞4．故答案为：0≤a＜4或a＞4．二、选择题：（每小题4分，共16分）13．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．【考点】不等关系与不等式．【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选D．14．已知a，b∈R+，那么“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式．【分析】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答时，要先判断准条件和结论并分别是什么．然后结合不等式的知识分别由条件推结论和由结论推条件，看是否正确即可获得问题解答．【解答】解：由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故选A．15．不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥a2﹣4a的解集为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．（﹣∞，1）∪（3，+∞）C．[1，3]D．（1，3）【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|，通过对x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得f（x）min=﹣3，依题意，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|，当x＜﹣1时，f（x）=﹣1﹣x﹣（﹣x+2）=﹣3；当﹣1≤x≤2时，f（x）=1+x﹣（﹣x+2）=2x﹣1∈[﹣3，3]；当x＞2时，f（x）=x+1﹣（x﹣2）=3；∴f（x）min=﹣3．∵不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥a2﹣4a的解集为R，∴a2﹣4a≤f（x）min=﹣3，即实数a的取值范围是[1，3]．故选C．16．在下列条件中：①b2﹣4ac≥0；②ac＞0；③ab＜0且ac＞0；④b2﹣4ac≥0，＞0中能成为“使二次方程ax2+bx+c=0的两根为正数”的必要非充分条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据二次方程ax2+bx+c=0的两根为正数，则一定满足b2﹣4ac≥0，ab＜0，ac＞0，故根据必要不充分条件的定义即可判断．【解答】解：∵二次方程ax2+bx+c=0的两根为正数，∴b2﹣4ac≥0，ab＜0，ac＞0，故由使二次方程ax2+bx+c=0的两根为正数，一定能推出b2﹣4ac≥0，ab＜0，ac＞0，但是满足其中一个或2个不能推出使二次方程ax2+bx+c=0的两根为正数，故①②③能成为使二次方程ax2+bx+c=0的两根为正数”的必要非充分条件，故选：A三、解答题：本大题共5小题，共48分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解不等式组：．【考点】其他不等式的解法．【分析】把要解的不等式组等价转化为，从而求得它的解集．【解答】解：不等式组：，即，即，求得﹣3＜x≤﹣2，或1≤x≤2，故原不等式组的解集为{x|﹣3＜x≤﹣2，或1≤x≤2}．18．设全集U=R，集合A=．（1）求集合B；