江西省赣州市兴国中学、兴国三中、平川中学等四校2017届高三（上）第一次联考数学试卷（文科）（解析版

2016-2017学年江西省赣州市兴国中学、兴国三中、平川中学等四校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∃x0∈R，7x+sin2x0＞3”的否定是（）A．∃x0∈R，7x+sin2x0≤3B．∃x0∈R，7x+sin2x0＜3C．∀x∈R，7x3+sin2x≤3D．∀x∈R，7x3+sin2x＜32．已知复数z满足=1+4i，则复数z的虚部为（）A．﹣3B．11C．11iD．﹣113．已知集合A={x|（x﹣3）（x+2）＜0}，B={﹣4，﹣1，0，1，3}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1，3}C．{0，1}D．{0，1，3}4．已知α∈（，π），且cosα=﹣，则=（）A．B．﹣C．D．﹣5．已知函数f（x）=，则函数y=f（x）的零点个数为（）A．0B．1C．2D．36．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）与直线l：x=4交于A，B两点，若△OAB的面积为32，则抛物线C的准线方程为（）A．x=﹣B．x=﹣4C．x=﹣1D．x=﹣87．执行下面的程度框图，若输出的值为﹣5，则判断框中可以填（）A．z＞10B．z≤10C．z＞20D．z≤208．如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的最短棱长为（）A．4B．5C．4D．9．在平行四边形ABCD中，AB=BC=1，∠BAD=120°，=，则•=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如下图所示，其中A，B分别为函数f（x）图象的一个最高点和最低点，且A，B两点的横坐标分别为1，4，若•=0，则函数f（x）的一个单调减区间为（）A．（﹣6，﹣3）B．（6，9）C．（7，10）D．（10，13）11．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（）A．4B．8C．16D．3212．已知x∈（0，2），关于x的不等式＜恒成立，则实数k的取值范围为（）A．[0，e+1）B．[0，2e﹣1）C．[0，e）D．[0，e﹣1）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知实数x，y满足，则z=x+2y的最小值为．14．已知五边形ABCDE满足AB=BC=CD=DE，∠BAE=∠AED=90°，∠BCD=120°，若F为线段AE的中点，则往五边形ABCDE内投掷一点，该点落在△BDF内的概率为．15．已知△ABC满足BC•AC=2，若C=，=，则AB=．16．观察下列等式：1=++；1=+++；1=++++；…，以此类推，1=++++++，其中m＜n，m，n∈N*，则m﹣n=．三．解答题（本大题共5小题，共70分）17．已知数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn，且数列{}是公差为2的等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=（﹣1）nan，求数列{bn}的前n项和Tn．18．2013年4月14日，CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：混凝土耐久性达标混凝土耐久性不达标总计使用淡化海砂25t30使用未经淡化海砂s1530总计402060（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：P（k2≥k）0.100.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828参考公式：k2=．19．如图，四棱锥C﹣ABB1A1内接于圆柱OO1，且A1A，B1B都垂直于底面圆O，BC过底面圆心O，M，N分别是棱AA1，CB1的中点，MN⊥平面CBB1．（1）证明：MN∥平面ABC；（2）求四棱锥C﹣ABB1A1与圆柱OO1的体积比．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=x2﹣ax+21nx．（1）若函数y=f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若x1∈（0，]，且f（x1）≥t+f（x2）恒成立，求实数t的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）+=0．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）求曲线C1上的点到曲线C2的距离的取值范围．23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．2016-2017学年江西省赣州市兴国中学、兴国三中、平川中学等四校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“∃x0∈R，7x+sin2x0＞3”的否定是（）A．∃x0∈R，7x+sin2x0≤3B．∃x0∈R，7x+sin2x0＜3C．∀x∈R，7x3+sin2x≤3D．∀x∈R，7x3+sin2x＜3【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，7x+sin2x0＞3”的否定为：∀x∈R，7x3+sin2x≤3．故选：C．2．已知复数z满足=1+4i，则复数z的虚部为（）A．﹣3B．11C．11iD．﹣11【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数z满足=1+4i，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．【解答】解：由复数z满足=1+4i，得=，则复数z的虚部为：﹣3．故选：A．3．已知集合A={x|（x﹣3）（x+2）＜0}，B={﹣4，﹣1，0，1，3}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1，3}C．{0，1}D．{0，1，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜3，即A=（﹣2，3），∵B={﹣4，﹣1，0，1，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：A．4．已知α∈（，π），且cosα=﹣，则=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，进而利用诱导公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵α∈（，π），且cosα=﹣，∴sinα==，∴===．故选：C．5．已知函数f（x）=，则函数y=f（x）的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【考点】函数零点的判定定理．【分析】分段解方程f（x）=0即可．【解答】解：当x≥0时，⇒x2﹣6x+9=0⇒x=3，符合题意；当x＜0时，f（x）=3x+2x单调递增，且f（﹣1）＜0，f（0）＞0，函数在（﹣1，0）上有一个零点，∴函数y=f（x）的零点个数为2，故选：C6．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）与直线l：x=4交于A，B两点，若△OAB的面积为32，则抛物线C的准线方程为（）A．x=﹣B．x=﹣4C．x=﹣1D．x=﹣8【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用△OAB的面积为32，建立方程，即可求出抛物线C的准线方程．【解答】解：由题意，x=4，y=±，∵△OAB的面积为32，∴=32，∴p=8，∴抛物线C的准线方程为x=﹣4，故选B．7．执行下面的程度框图，若输出的值为﹣5，则判断框中可以填（）A．z＞10B．z≤10C．z＞20D．z≤20【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，z的值，当z=21时，应该不满足条件，退出循环，输出x﹣y的值为﹣5；结合选项即可得出判断框内可填入的条件．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=2，z=1+2=3；满足条件，x=2，y=3，z=2+3=5；满足条件，x=3，y=5，z=3+5=8；满足条件，x=5，y=8，z=5+8=13；满足条件，x=8，y=13，z=8+13=21；由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出x﹣y的值为8﹣13=﹣5；结合选项可知，判断框内可填入的条件是z≤20．故选：D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的最短棱长为（）A．4B．5C．4D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】作出直观图，计算各棱长，即可得出结论．【解答】解：直观图如图所示：其中BC=4，AB=AD=5，CD=，BD=2，故最短的棱长为4，故选：A9．在平行四边形ABCD中，AB=BC=1，∠BAD=120°，=，则•=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的线性运算法则与数量积的定义，计算即可．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，AB=BC=1，∠BAD=120°，=；∴=+，=+=﹣，∴•=（+）•（﹣）=+•﹣=12+×1×2×cos120°﹣×22=﹣．故选：C．10．已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如下图所示，其中A，B分别为函数f（x）图象的一个最高点和最低点，且A，B两点的横坐标分别为1，4，若•=0，则函数f（x）的一个单调减区间为（）A．（﹣6，﹣3）B．（6，9）C．（7，10）D．（10，13）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】求出函数的周期，利用周期公式可求ω，利用向量的坐标运算可求M，利用A（1，2）在函数图象上可求φ，利用三角函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：由题意可得：周期T=2×（4﹣1）=6=，解得：ω=，可得坐标：A（1，M），B（4，﹣M），=（1，M），=（4，﹣M），由于：•=0，可得：1×4﹣M2=0，解得：M=2，可得：2sin（×1+φ）=2，解得：×1+φ=2kπ+，k∈Z，可得：φ=2kπ+，k∈Z，由于：0＜φ＜，可得：φ=，解得函数解析式为：f（x）=2sin（x+），令2kπ+＜x+＜2kπ+，k∈Z，解得：6k+1＜x＜6k+4，k∈Z，可得：当k=1时，函数f（x）的一个单调减区间为：（7，10）．故选：C．11．已知双曲线C1：﹣y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF2，若C1，C2的离心率相同，且S=16，则双曲线C2的实轴长为（）A．4B．8C．16D．32【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线C1的离心率，求得双曲线C2一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长．【解答】解：双曲线C1：﹣y2=1的离心率为，设F2（c，0），双曲线C2一条渐近线方程为y=x，可得|F2M|===b，即有|OM|==a，由S=16，可得ab=16，即ab=32，又a2+b2=c2，且=，解得a=8，b=4，c=4，即有双曲线的实轴长为16．故选：C．12．已知x∈（0，2），关于x的不等式＜恒成立，则实数k的取值范围为（）A．