第四届“学用杯”全国数学知识应用竞赛七年级决赛试题(含答案)

第四届“学用杯”全国数学知识应用竞赛七年级决赛试题一、（本题20分）如图1，是由9个等边三角形（三条边都相等的三角形）组成的装饰图案，已知中间最小的等边三角形（阴影部分）边长为1cm，现欲将此图案的周边镶上一根彩线，问彩线至少需要多长？二、（本题20分）数学大师化罗庚说过：“数形结合百般好，数形分离万事难”，图形是研究数学的重要工具，有一些复杂的运算若用图形表示出来，一看便知其结果．如如计算：1111124816，结果表示为图形，即为图2中的阴影部分，显然为116．你能创造一个图形来描述13579的结果吗？利用画出的图形你能得出135(21)n（其中n为正整数）的结果吗？图1121418116图2三、（本题20分）在田径比赛中的标准跑道一般是由长为85.96米的两条直道和半径为36米的两条半圆弧跑道组成．标准跑道分为8道，每条跑道宽1.25米．国际田联规定：1．第一道全程长度应由离开内圈30厘米处沿跑圈丈量（即12285.962lR[3.1416(360.3)85.96]400米）；2．跑第二道至第八道的运动员不能踩着分道线跑，而是沿着各自分道线向外20厘米跑（踩线将取消成绩）；3．终点线设置在第一分界（如图3中AE处）问：在举行400米跑比赛时，为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上（如图3中128PPP，，），那么各外圈跑道起跑点较相邻内圈跑道起点依次应向前延伸多少米？（取3.1416，结果精确到0.01）四、（本题20分）小华的外婆送来满满一篮鸡蛋，这只篮子大约能装55个左右的鸡蛋．小华3个一数，结果剩下1个，但忘了数了多少次，只好重新数一次，她又5个一数，剩下两个，可又忘了数了多少次．问：你能不能根据现有的条件，帮助小华算出篮子里最多装有多少个鸡蛋？12345678AE1P2P3P4P5P6P图3五、（本题30分）材料作文在一次数学活动课上，刘老师拿着8颗弹子球给同学们提出了这样一个探究问题：8题弹子球，看上去一模一样，其中1颗“缺陷球”它比其它的球都重．问：能使用天平通过两次称量找到这颗“缺陷球”吗？同学们的解答是这样的：只通过两次称量便能找到这颗“缺陷球”．具体操作是：在天平两边各任意放3颗球，这时会有两种可能的结果．一种是天平两边是平衡的，就可以确定所称量的6颗球里面没有“缺陷球”．因此第二次称量时就只需要称量剩下的2颗球，较重的1颗就是“缺陷球”．读到这里，请你想一想，这种操作的另外一种可能的结果是什么？不必解答．在解题过程中，我们采用了什么数学思维？结合所学知识写一篇数学思维帮助我们认识生活的小作文．（题目自拟，字数控制在300~500字）六、（本题40分）从下列题目中任选其一，联系相关知识及现实生活，写一篇数学作文，字数控制在800字以内．1．畅谈绝对值2．图形就在你我他间3．方程，方程，我爱你4．学习数学使我自信5．数学的奇妙6．我与“学用杯”竞赛加油呀！你一定能取得好成绩！参考答案一、解：如右图设ABx，则2BHx．123GFFExEDCDxBCx，，．········5分又因为BHBC，所以23xx．··························10分解得3x．···························································15分则3655ABBCCDDEEFGFAG44330（cm）．···········································20分即这根彩线至少长30cm.二、解：2135(21)nn．（说明：图画对给10分，推理结果对给10分）三、略解：设nR为各道半径长，nl为各道弯道长，则1122360.336.33.141636.3114.04361.250.237.453.141637.45117.65RlRl，；，；212()2(117.65114.04)7.22ll；················································10分32432()7.862()7.86llll；；872()7.86ll．·················································································20分四、解：设篮子里最多装鸡蛋m上，每3个一数，数了x次剩1个，每5个一数，数了y次剩2个，则3152xmym，．························································5分即3131525xxyy，．································································10分因为xy，都是正整数，所以31x必定为5的倍数．又因为31x是55左右的数，所以31x为53左右的数．当3150x时，17103152xymx，，，符合题意；····················15分当3155x时，2183x，不符合题意．所以m只能是52，即篮子里最多装有52个鸡蛋．········································20分1x1x2x2x3xx注意：一~四题必须给出必要的演算过程或推理步骤，若给出其它答案，只要正确、合理的酌情给分．