高中物理竞赛——理想气体

高中物理竞赛——理想气体1、气体实验三定律在压强不太大，温度不太低的条件下，气体的状态变化遵从以下三个实验定律a、玻意耳-马略特定律：一定质量气体温度不变时，P1V1=P2V2或PV=恒量b、查理定律：一定质量气体体积不变时，11TP=22TP或TP=恒量c、盖·吕萨克定律：一定质量气体压强不变时，11TV=22TV或TV=恒量【例题4】如图6-6所示，一端封闭、内径均匀的玻璃管长L=100cm，其中有一段长L′=15cm的水银柱把一部分空气封闭在管中。当管水平放置时，封闭气柱A长LA=40cm。现把管缓慢旋转至竖直后，在把开口端向下插入水银槽中，直至A端气柱长AL=37.5cm为止，这时系统处于静止平衡。已知大气压强P0=75cmHg，过程温度不变，试求槽内水银进入管内的水银柱的长度h。【解说】在全过程中，只有A部分的气体质量是不变的，B部分气体则只在管子竖直后质量才不变。所以有必要分过程解本题。过程一：玻管旋转至竖直A部分气体，LA′=AAPPLA=157575×40=50cm此时B端气柱长LB′=L−LA′−L′=100−50−15=35cm过程二：玻管出入水银槽A部分气体（可针对全程，也可针对过程二），AP=AALLAP=5.3750×60=80cmHgB部分气体，BL=BBPPBL=LA0PPPBL=158075×35≈27.6cm最后，h=L-AL−L′−BL【答案】19.9cm。2、理想气体宏观定义：严格遵守气体实验定律的气体。微观特征：a、分子本身的大小比起它们的间距可以忽略，分子不计重力势能；b、除了短暂的碰撞过程外，分子间的相互作用可以忽略——意味着不计分子势能；c、分子间的碰撞完全是弹性的。*理想气体是一种理想模型，是实际气体在某些条件约束下的近似，如果这些条件不满足，我们称之为实际气体，如果条件满足不是很好，我们还可以用其它的模型去归纳，如范德瓦尔斯气体、昂尼斯气体等。理想气体压强的微观解释：P=32nK，其中n为分子数密度（n=VN）。3、理想气体状态方程：一定质量的理想气体，111TVP=222TVP或TPV=恒量理想气体状态方程可以由三个试验定律推出，也可以由理想气体的压强微观解释和温度微观解释推导得出。【例题5】如图6-7所示，在标准大气压下，一端封闭的玻璃管长96cm，内有一段长20cm的水银柱，当温度为27℃且管口向上竖直放置时，被封闭的气柱长为60cm。试问：当温度至少升高到多少度，水银柱才会从玻璃管中全部溢出？【解说】首先应该明确的是，这是一个只有唯一解的问题还是一个存在范围讨论的问题。如果是前一种可能，似乎应该这样解：111TLP=222TLP，即300602076）（=2T9676，得：T2=380K但是，仔细研究一下升温气体膨胀的全过程，就会发现，在某些区域，准静态过程是不可能达成的，因此状态方程的应用失去意义。为了研究准静态过程是否可能达成，我们可以假定水银柱是受到某种制约而准静态膨胀的，这样，气柱的压强只受玻马定律制约（而与外界大气压、水银柱长没有关系），设为P。而对于一般的末状态，水银柱在管中剩下的长度设为x。从初态到这个一般的末态111TLP=TPL，即300602076）（=T)x96(P，得P=x96T2.19隔离水银柱下面的液面分析，可知P≤76+x时准静态过程能够达成（P可以随升温而增大，直至不等式取等号），而P＞76+x时准静态过程无法达成（T升高时，P增大而x减小），水银自动溢出。所以，自动溢出的条件是：T＞2.191（－x2+20x+7296）考查函数y=2.191（－x2+20x+7296）发现，当x=10cm时，ymax=385.2K而前面求出的x=0时，T只有380K，说明后阶段．．．无须升温，即是自动溢出过程．．．．．．．．．．．．．（参照图6-8理解）。而T＞ymax即是题意所求。【答案】385.2K。a、推论1：111TP=222TP，此结论成功地突破了“质量一定”的条件约束，对解某些特殊问题非常有效。b、克拉珀龙方程：原方程中，将“恒量”定量表达出来就成为PV=RT，其中为气体的摩尔数，这个结论被成为克拉珀龙方程。它的优点是能使本来针对过程适用的方程可以应用到某个单一的状态。c、推论2：气体混合（或分开）时，111TVP+222TVP+…+nnnTVPTPV，这个推论很容易由克拉珀龙方程导出。【例题6】图6-9是一种测量低温用的气体温度计，它的下端是测温泡A，上端是压力计B，两者通过绝热毛细管相连，毛细管容积不计。操作时先把测温计在室温T0下充气至大气压P0，然后加以密封，再将A浸入待测液体中，当A和待测液体达到热平衡后，B的读数为P，已知A和B的容积分别为VA和VB，试求待测液体的温度。【解说】本题是“推论2”的直接应用0BA0T)VV(P=AATPV+0BTPV【答案】TA=BBA00APV)VV(PTPV【例题7】图6-10所示是一定质量理想气体状态变化所经历的P-T图线，该图线是以C点为圆心的圆。P轴则C点的纵坐标PC为单位（T轴以TC为单位）。若已知在此过程中气体所经历的最低温度为T0，则在此过程中，气体密度的最大值ρ1和最小值ρ2之比ρ1/ρ2应等于多少？【解说】本题物理知识甚简，应用“推论1”即可。111TP=222TP21=1221TPTP=2211T/PT/P此式表明，TP越大时，ρ就越大。故本题归结为求TP的极大值和极小值。方法一：P与T的关系服从圆的方程（参数方程为佳）T=Tc+rcosθP=PC+rsinθ引入y=TP=cosrTsinrPCC，然后求这个函数的极值…方法二：见图6-11，从TP的几何意义可知，TP等于状态点到原点的连线与T轴夹角的正切值，求TP的极大和极小归结为求这个正切值的极大和极小——很显然，当直线与圆周的两处相切时，出现了这样的极大和极小值。θmax=α+β，θmin=α−β而tgα=CCTPsinβ=2C2CPTrtgβ=0C0CTT2TT（注意：依题意，r=TC−T0）所以tgθmax=tgtg1tgtg=)TT(PTT2T)TT(TTT2P0CC0CC0CC0CCtgθmin=tgtg1tgtg=)TT(PTT2T)TT(TTT2P0CC0CC0CC0CC【答案】〔)TT(PTT2T)TT(TTT2P0CC0CC0CC0CC〕/〔)TT(PTT2T)TT(TTT2P0CC0CC0CC0CC〕。d、道尔顿分压定律：当有n种混合气体混合在一个容器中时，它们产生的压强等于每一种气体单独充在这个容器中时所产生的压强之和。即P=P1+P2+P3+…+Pn4、理想气体的内能、做功与吸放热计算a、理想气体的内能计算由于不计分子势能，故E=N·K=N2ikT=N2iANRT=2iRT，其中N为分子总数，为气体的摩尔数。由于（对一定量的气体）内能是温度的单值函数，故内能的变化与过程完全没有关系。b、理想气体的做功计算气体在状态变化时，其压强完全可以是变化的，所以气体压力的功从定义角度寻求比较困难。但我们可以从等压过程的功外推到变压过程的功（☆无限分割→代数累计…），并最终得出这样一个非常实用的结论：准静态过程理想气体的功W总是对应P-V图象中的“面积”。这个面积的理解分三层意思——①如果体积是缩小的，外界对气体做功，面积计为正；②如果体积是增大的，气体对外界做功，面积计为负；③如果体积参量变化不是单调的（例如循环过程），则面积应计相应的差值。如图6-3所示。（☆学员思考：气体膨胀是不是一定对外做功？…）c、吸放热的计算初中所学的通式Q=cmΔT仍适用，但值得注意的是，对固体和液体而言，比热容c基本恒定（和材料相关），但对气体而言，c会随着过程的不同而不同。对理想气体，我们一般引进“摩尔热容”C（从克拉珀龙方程知，我们关心气体的摩尔数更甚于关心气体的质量），物理意义：1摩尔物质温度每升高1K所吸收的热量。摩尔热容和比热容的关系C=cm。①等容过程的摩尔热容称为“定容摩尔热容”，用CV表示，所以Q=CVΔT②等压过程的摩尔热容称为“定压摩尔热容”，用CP表示，所以Q=CPΔT对于其它的复杂过程而言，摩尔热容的表达比较困难，因此，用直接的途径求热量不可取，这时，我们改用间接途径：即求得ΔE和W后，再用热力学第一定律求Q。（☆从这个途径不难推导出：①CV=2iR，CP=2iR+R，即CP=CV+R…；②E=CVT）【例题8】0.1mol的单原子分子理想气体，经历如图6-13所示的A→B→C→A循环，已知的状态途中已经标示。试问：（1）此循环过程中，气体所能达到的最高温度状态在何处，最高温度是多少？（2）C→A过程中，气体的内能增量、做功情况、吸放热情况怎样？【解说】（1）介绍玻马定律的P-V图象，定性预计Tmax的大概位置（直线BC上的某一点）。定量计算PV的极大值步骤如下——BC的直线方程为P=－21V+2y=PV=－21V2+2V显然，当V=2时，y极大，此时，P=1代入克拉珀龙方程：1×105×2×10－3=0.1×8.31Tmax，解得Tmax=240.7K（2）由克拉珀龙方程可以求得TC=180.5K=TB，TA=60.2KΔE=2iRΔT=0.1×23×8.31×(60.2－180.5)=－150.0J根据“面积”定式，W=0.5×105×2×10-3=100J计算Q有两种选择：a、Q=CPΔT=0.1×25×8.31×（60.2－180.5)=－250.0Jb、Q=ΔE－W=－250.0J【答案】（1）V=2×10－3时，Tmax为240.7K；（2）内能减少150.0J，外界对气体做功100J，气体向外界放热250J。〖思考一〗B→C过程气体吸放热的情况又怎样？〖解〗由于B→C过程一直是气体对外界做功，但内能却是先增后减，所以过程的吸放热情况会复杂一些。由ΔE=Q+W不难看出，TB到Tmax阶段肯定是吸热，但在Tmax到TC阶段则无法定性判断。所以这里启用定量方法——在Tmax到TC阶段取一个极短过程V→（V+ΔV），在此过程中ΔE=2iRΔT=23Δ（PV）≈23（PΔV+VΔP）由于P=－21V+2，有ΔP=－21ΔV故ΔE=23（2－V）ΔV又W=－21ΔV（P+〈P－ΔP〉）=－PΔV+21ΔPΔV≈－PΔV=（21V－2）ΔV（“过程极短”的缘故…）所以Q=ΔE－W=（5－2V）ΔVQ＜0时，气体开始放热，即V＞2.5时开始吸热（转变体积V′=2.5×10-3m3，对应转变压强P′=0.75×105Pa，转变温度T′=225.6K）。a、吸热阶段：ΔE=0.1×23×8.31×（225.6－180.5）=56.2JW=－21（1.5+0.75）×105×（2.5－1）×10-3=－168.8JQ=ΔE－W=225.0Jb、放热阶段：ΔE=0.1×23×8.31×（180.5－225.6）=－56.2JW=－21（0.5+0.75）×105×（3－2.5）×10-3=－31.3JQ=ΔE－W=－24.9J（说明：如果针对B→C全程计算，不难得出Q=200.0J。那么，分出吸热、放热的细节是不是没有必要呢？不能这样认为。因为热传递的过程具有不可逆性，所以这里的热量“总帐”对气体可能是与“细帐”没有区别，但对外界而言，吸热必然是来自高温热源，而放热却是针对低温热源，它们就象同一个公司的两个不同贸易伙伴，算清具体往来显然是必要的。）〖答〗从高温热源吸收225.0J的热量，向低温热源放出24.9J的热量。〖思考二〗B→C过程吸热过程和放热过程的摩尔热容分别是多少？〖解答〗解略。吸热过程C1=49.9J/(mol·K)，放热过程C2=5.54J/(mol·K)。〖思考三〗整个循环的效率是多少？〖解答〗A→B过程吸热Q=CVΔT=0.1×23×8.31×(180.5－60.2)=150.0J，B→C过程吸热225J，C→A