高中物理竞赛教程_第六讲__运动学

第二讲运动学§2.1质点运动学的基本概念2．1．1、参照物和参照系要准确确定质点的位置及其变化，必须事先选取另一个假定不动的物体作参照，这个被选的物体叫做参照物。为了定量地描述物体的运动需要在参照物上建立坐标，构成坐标系。通常选用直角坐标系O–xyz，有时也采用极坐标系。平面直角坐标系一般有三种，一种是两轴沿水平竖直方向，另一是两轴沿平行与垂直斜面方向，第三是两轴沿曲线的切线和法线方向（我们常把这种坐标称为自然坐标）。附：极坐标系极坐标系polarcoordinates在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。当限制ρ≥0，0≤θ＜2π时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地，如果（ρ，θ）是一个点的极坐标，那么（ρ，θ＋2nπ），（－ρ，θ＋（2n＋1）π），都可作为它的极坐标，这里n是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ＝r等速螺线的方程为。此外，椭圆、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥截线，可以用一个统一的极坐标方程表示。极坐标系到直角坐标系的转化：x=ρcosθxyzxyzOr图2-1-1y=ρsinθ直角坐标系到极坐标系的转换：长度可直接求出：ρ=sqrt(x^2+y^2)【sqrt表示求平方根】角度需要分段求出，即判断x，y值求解。如果ρ=0，则角度θ为任意，也有函数定义θ=0；如果ρ0，则：｛令ang=asin(y/ρ)如果y=0,x0,则，θ=0；如果y=0,x0,则，θ=π；如果y0,则，θ=ang；如果y0，则：θ=2π-ang；自然坐标自然坐标系是沿质点的运动轨道建立的坐标系.在质点运动轨道上任取一点作为坐标原点O,质点在任意时刻的位置,都可用它到坐标原点O的轨迹的长度来表示.在自然坐标系中有两个单位矢量，其定义如下:1.切向单位矢量,表示沿该质点所在点的轨道切线方向;2.法向单位矢量,表示垂直于该质点的切向单位矢量而指向曲线的凹侧.可见这两个单位矢量的方向,也是随质点位置的不同而不同的.在自然坐标系中表示质点速度,是非常简单的,因为无论质点处在什么位置上速度都只有切向分量,而没有法向分量.自然坐标系不仅适用于平面运动,也可以用于三维空间的运动.不过在三维情况下,应该引入两个法向单位矢量.2．1．2、位矢，位移和路程在直角坐标系中，质点的位置可用三个坐标x，y，z表示，当质点运动时，它的坐标是时间的函数x=X（t）y=Y（t）z=Z（t）这就是质点的运动方程。质点的位置也可用从坐标原点O指向质点P（x、y、z）的有向线段r来表示。如图2-1-1所示,r也是描述质点在空间中位置的物理量。r的长度为质点到原点之间的距离，r的方向由余弦cos、cos、cos决定,它们之间满足1coscoscos222当质点运动时,其位矢的大小和方向也随时间而变,可表示为r=r(t)。在直角坐标系中,设分别为i、j、k沿方向x、y、z和单位矢量，则r可表示为ktzjtyitxtr)()()()(位矢r与坐标原点的选择有关。研究质点的运动，不仅要知道它的位置，还必须知道它的位置的变化情况，如果质点从空间一点),,(1111zyxP运动到另一点),,(2222zyxP，相应的位矢由r1变到r2，其改变量为rkzzjyyixxrrr)()()(12121212称为质点的位移，如图2-1-2所示，位移是矢量，它是从初始位置指向终止位置的一个有向线段。它描写在一定时间内质点位置变动的大小和方向。它与坐标原点的选择无关。2．1．3、速度平均速度质点在一段时间内通过的位移和所用的时间之比叫做这段时间内的平均速度tsv平均速度是矢量，其方向为与r的方向相同。平均速度的大小，与所取的时间间隔t有关，因此须指明是哪一段时间（或哪一段位移）的平均速度。瞬时速度当t为无限小量，即趋于零时，r成为t时刻的瞬时速度，简称速度tsvvtt00limlim瞬时速度是矢量，其方向在轨迹的切线方向。瞬时速度的大小称为速率。速率是标量。2．1．4、加速度平均加速度质点在t时间内，速度变化量为v，则v与t的比值为这段时间内的平均加速度tva平均加速度是矢量，其方向为v的方向。瞬时加速度当t为无限小量，即趋于零时，v与t的比值称为此时刻的瞬时加速度，简称加速度tvat0lim加速度是矢量，其方向就是当t趋于零时，速度增量的极限方向。xyz),,(1111zyxP),,(2222zyxPO1rr2r图2-1-22．1．5、匀变速直线运动加速度a不随时间t变化的直线运动称为匀变速直线运动。若a与v同方向，则为匀加速直线运动；若a与v反方向，则为匀减速直线运动。匀变速直线运动的规律为：atvv12021attvsasvv2221tvvvtst)(210匀变速直线运动的规律也可以用图像描述。其位移—时间图像（s～t图）和速度—时间图像（v～t图）分别如图2-1-3和图2-1-4所示。从(s～t)图像可得出：(1)任意一段时间内的位移。(2)平均速度，在（12tt）的时间内的平均速度的大小，是通过图线上点1、点2的割线的斜率。(3)瞬时速度，图线上某点的切线的斜率值，等于该时刻的速度值。从s～t图像可得出：从(v～t)图像可得出：(1)任意时刻的速度。(2)任意一段时间内的位移，21tt时间内的位移等于v～t图线，21tt、时刻与横轴所围的“面积”。这一结论对非匀变速直线运动同样成立。(3)加速度，v～t图线的斜率等于加速度的值。若为非匀变速直线运动，则v～t图线任一点切线的斜率即为该时刻的瞬时加速度的大小。§2.2运动的合成与分解相对运动2．2．1、运动的合成与分解(1)矢量的合成与分解矢量的合成与分解的基本方法是平行四边形法则，即两分量构成平行四边形的两邻边，合矢量为该平行四边形与两分量共点的对角线。由平行四边形法则又衍生出三角形法则，多个矢量的合成又可推导出多边形法则。同一直线上的矢量的合成与分解可以简化为代数运算，由此，不在同一直线上的矢量的合成与分解一般通过正交分解法进行运算，即把各个矢量向互相垂直的坐标轴投影，先在各轴上进行代数运算之后，再进行矢量运算。(2)运动的合成和分解运动的合成与分解是矢量的合成与分解的一种。运动的合成与分解一般包括位移、速度、Ost12t1t2图2-1-3Ovt图2-1-4加速度等的合成与分解。运动的合成与分解的特点主要有：①运动的合成与分解总是与力的作用相对应的；②各个分运动有互不相干的性质，即各个方向上的运动与其他方向的运动存在与否无关，这与力的独立作用原理是对应的；③位移等物理量是在一段时间内才可完成的，故他们的合成与分解要讲究等时性，即各个运动要取相同时间内的位移；④瞬时速度等物理量是指某一时刻的，故它们的合成分解要讲究瞬时性，即必须取同一时刻的速度。两直线运动的合成不一定就是直线运动，这一点同学们可以证明。如：①两匀速直线运动的合成仍为匀速直线运动；②两初速为零（同一时刻）的匀加速直线运动的合成仍为初速为零的匀加速直线运动；③在同一直线上的一个匀速运动和一个初速为零的匀变速运动的合运动是一个初速不为零的匀变速直线运动，如：竖上抛与竖下抛运动；④不在同一直线上的一个匀速运动与一个初速为零的匀加速直线运动的合成是一个曲线运动，如：斜抛运动。2．2．2、相对运动任何物体的运动都是相对于一定的参照系而言的，相对于不同的参照系，同一物体的运动往往具有不同的特征、不同的运动学量。通常将相对观察者静止的参照系称为静止参照系；将相对观察者运动的参照系称为运动参照系。物体相对静止参照系的运动称为绝对运动，相应的速度和加速度分别称为绝对速度和绝对加速度；物体相对运动参照系的运动称为相对运动，相应的速度和加速度分别称为相对速度和相对加速度；而运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运动，相应的速度和加速度分别称为牵连速度和牵连加速度。绝对运动、相对运动、牵连运动的速度关系是：绝对速度等于相对速度和牵连速度的矢量和。牵连相对绝对vvv这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。当运动参照系相对静止参照系作平动时，加速度也存在同样的关系：牵连相对绝对aaa当运动参照系相对静止参照系作转动时，这一关系不成立。如果有一辆平板火车正在行驶，速度为火地v（脚标“火地”表示火车相对地面，下同）。有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为汽火v，那么很明显，汽车相对地面的速度为：火地汽火汽地vvv（注意：汽火v和火地v不一定在一条直线上）如果汽车中有一只小狗，以相对汽车为狗汽v的速度在奔跑，那么小狗相对地面的速度就是火地汽火狗汽狗地vvvv从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵守以下几条原则：①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。合速度的后脚标和最后一个分速度的后脚标相同。②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。③所有分速度都用矢量合成法相加。④速度的前后脚标对调，改变符号。以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移和相对加速度。相对运动有着非常广泛的应用，许多问题通过它的运用可大为简化，以下举两个例子。例如图2-2-1所示，在同一铅垂面上向图示的两个方向以smvsmvBA/20/10、的初速度抛出A、B两个质点，问1s后A、B相距多远？这道题可以取一个初速度为零，当A、B抛出时开始以加速度g向下运动的参考系。在这个参考系中，A、B二个质点都做匀速直线运动，而且方向互相垂直，它们之间的距离4.2251022mtvtvsBAABm在空间某一点O，向三维空间的各个方向以相同的速度v射出很多个小球，球ts之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少（假设ts之内所有小球都未与其它物体碰撞）？这道题初看是一个比较复杂的问题，要考虑向各个方向射出的小球的情况。但如果我们取一个在小球射出的同时开始自O点自由下落的参考系，所有小球就都始终在以O点为球心的球面上，球的半径是tv0，那么离得最远的两个小球之间的距离自然就是球的直径2tv0。§2.3抛体运动2．3．1、曲线运动的基本知识轨迹为曲线的运动叫曲线运动。它一定是一个变速运动。图2-3-1表示一质点作曲线运动，它经过P点时，在P点两旁的轨迹上取11ba、两点，过11bPa、、三点可作一圆，当这两点无限趋近于P点时，则圆亦趋近于一个定圆，我们把这个圆叫P点的曲率圆，曲率圆的半径叫P点的曲率半径，曲率圆的圆心叫P点的曲率中心，曲率半径的倒数叫P点的曲率。如图2-3-1，亦可做出Q点的曲率圆。曲率半径大，曲率小，表示曲线弯曲较缓，曲率半径小，曲率大，表示曲线弯曲厉害。直线可认为是曲率半径为无穷大的曲线。质点做曲线运动的瞬时速度的方向总是沿该点的切线方向。如图2-3-2所示，质点在△t时间内沿曲线由A点运动到B点，速度由VA变化到VB，则其速度增量V为两者之矢量差，V=VB―VA，这个速度增量又可分解成两个分量：在VB上取一段AC等于VA，则△V分解成△V1和△V2，其中△V1表示质点由A运动到60º30ºvB=20m/svA=10m/s图2-2-1PQO1R1O2a1a2b1b2图2-3-1AVAVB△V1△VB△V2CVB图2-3-2B的速度方向上的增量，△V2表示速度大小上的增量。法向加速度an表示质点作曲线运动时速度方向改变的快慢，其大小为在A点的