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全国高中数学联赛模拟试题(五)第一试一、选择题:(每小题6分,共36分)1、空间中n(n≥3)个平面,其中任意三个平面无公垂面.那么,下面四个结论(1)没有任何两个平面互相平行;(2)没有任何三个平面相交于一条直线;(3)平面间的任意两条交线都不平行;(4)平面间的每一条交线均与n2个平面相交.其中,正确的个数为(A)1(B)2(C)3(D)42、若函数y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段,则当c∈(a,b)时,f(c)的近似值可表示为(A)2bfaf(B)2baf(C)abbfacafcb(D)afbfabacaf3、设a>b>c,a+b+c=1,且a2+b2+c2=1,则(A)a+b>1(B)a+b=1(C)a+b<1(D)不能确定,与a、b的具体取值有关4、设椭圆12222byax的离心率23e,已知点23,0P到椭圆上的点的最远距离是47,则短半轴之长b=(A)161(B)81(C)41(D)215、S={1,2,…,2003},A是S的三元子集,满足:A中的所有元素可以组成等差数列.那么,这样的三元子集A的个数是(A)32003C(B)2100221001CC(C)2100221001AA(D)32003A6、长方体ABCDA1B1C1D1,AC1为体对角线.现以A为球心,AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球,其体积依次为V1、V2、V3、V4,则有(A)V4<V1+V2+V3(B)V4=V1+V2+V3(C)V4>V1+V2+V3(D)不能确定,与长方体的棱长有关二、填空题:(每小题9分,共54分)1、已知kcoscossinsin33,则k的取值范围为.2、等差数列{an}的首项a1=8,且存在惟一的k使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上,则这样的等差数列共有个.3、在四面体PABC中,PA=PB=a,PC=AB=BC=CA=b,且a<b,则ba的取值范围为.4、动点A对应的复数为z=4(cos+isin),定点B对应的复数为2,点C为线段AB的中点,过点C作AB的垂线交OA与D,则D所在的轨迹方程为.5、200313kk被8所除得的余数为.6、圆周上有100个等分点,以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为.三、(20分)已知抛物线y2=2px(p>0)的一条长为l的弦AB.求AB中点M到y轴的最短距离,并求出此时点M的坐标.四、(20分)单位正方体ABCDA1B1C1D1中,正方形ABCD的中心为点M,正方形A1B1C1D1的中心为点N,连AN、B1M.(1)求证:AN、B1M为异面直线;(2)求出AN与B1M的夹角.五、(20分)对正实数a、b、c.求证:cabcbacbabca888222≥9.第二试一、(50分)设ABCD是面积为2的长方形,P为边CD上的一点,Q为△PAB的内切圆与边AB的切点.乘积PA·PB的值随着长方形ABCD及点P的变化而变化,当PA·PB取最小值时,(1)证明:AB≥2BC;(2)求AQ·BQ的值.二、(50分)给定由正整数组成的数列nnnaaaaa12212,1(n≥1).(1)求证:数列相邻项组成的无穷个整点(a1,a2),(a3,a4),…,(a2k-1,a2k),…均在曲线x2+xyy2+1=0上.(2)若设f(x)=xn+xn-1anxan-1,g(x)=x2x1,证明:g(x)整除f(x).三、(50分)我们称A1,A2,…,An为集合A的一个n分划,如果(1)AAAAn21;(2)jiAA,1≤i<j≤n.求最小正整数m,使得对A={1,2,…,m}的任意一个13分划A1,A2,…,A13,一定存在某个集合Ai(1≤i≤13),在Ai中有两个元素a、b满足b<a≤89b.参考答案第一试一、选择题:题号123456答案DCACBC二、填空题:1、1,2121,1;2、17;3、1,32;4、134122yx;5、4;6、117600.三、2222,2,2,20,8,20,8pplplMplplplMplpl.四、(1)证略;(2)32arccos.五、证略.第二试一、(1)证略(提示:用面积法,得PA·PB最小值为2,此时∠APB=90°);(2)AQ·BQ=1.二、证略(提示:用数学归纳法).三、m=117.
本文标题:全国高中数学联赛模拟试题5
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