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1.某正数的平方根为a3和2a-93,则这个数是.2.一次函数y=kx+b,当-3≤x≤1时,对应的y的值为1≤y≤9,则kb的值为.3.满足x2-4y2=2011的整数对(x,y)的组数是()A、0B、1C、2D、34.四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=80°,AD=AB=12BC,CH⊥AB于H.连接DH,则∠CHD的度数为()A、30°B、35°C、40°D、45°5.已知AD是△ABC的中线,∠ABC=30°,∠ADC=45°,则∠ACB=度.6.关于m和n的方程5m2-6mn+7n2=2011是否存在整数解?如果存在,请写出一组解来;如果不存在,请说明理由.7.设p是质数,则满足|a+b|+(a-b)2=p的整数对(a,b)共有()对.A、3B、4C、5D、68.能否2010写成k个互不相等的质数的平方和?如果能,试求k的最大值;如果不能,请简述理由.9.某次初二数学竞赛,共有99所学校中学报名参加,每校参赛者中既有男选手,也有女选手,证明:存在其中的50所学校的男选手总数不小于全部男选手总数的一半,且其参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半.10.请你将1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数码排出一个能被11整除,且最大的九位数,并且简述排数的过程.解析1.首先根据平方根的定义可以列出方程a3+2a-93=0,然后解出a的值,最后代入为a3或2a-93中即可解决问题.解答:解:依题意得:a3+2a-93=0即a+2a-9=0∴a=3∴a3=-2a-93=1∴这个数为1.故填1.点评:本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.2.一次函数可能是增函数也可能是减函数,应分两种情况进行讨论,根据待定系数法即可求得解析式.解答:解:由一次函数的性质知,当k>0时,y随x的增大而增大,所以得{-3k+b=1k+b=9,解得k=2,b=7.即kb=14;当k<0时,y随x的增大而减小,所以得{-3k+b=9k+b=1,解得k=-2,b=3.即kb=-6.所以kb的值为14或-6.点评:本题要注意利用一次函数的特点,列出方程组,求出未知数,再解答,需同学们熟练掌握.3.由平方差公式可知x2-4y2=(x+2y)(x-2y),(x+2y)与(x-2y)同为奇数或者偶数,将2011分为两个奇数的积,分别解方程组即可.解答:解:∵2011=1×2011=(-1)×(-2011),∴(x+2y),(x-2y)分别可取下列数对(1,2011),(2011,1),(-1,-2011),(-2011,-1),∴{x+2y=1x-2y=2011,解得:{x=1006y=-502.5不合题意舍去,∴{x+2y=2011x-2y=1,解得:{x=1006y=-502.5不合题意舍去,∴{x+2y=-2011x-2y=-1,解得:{x=-1006y=502.5不合题意舍去,∴{x+2y=-1x-2y=-2011,解得:{x=-1006y=502.5不合题意舍去,由此可得方程有0组整数解.故选:A.点评:此题考查了平方差公式的实际运用,应明确两整数之和与两整数之积的奇偶性相同.5.设AE=x,过A作AE⊥BC于E,∵AE⊥BC,∴∠AED=∠AEC=90°,∵∠ADC=45°,∴∠DAE=180°-90°-45°=45°=∠ADE,∴AE=DE=x,∵∠B=30°,∴AB=2x,由勾股定理得:BE=3x,∴BD=DC=3x-x,∴CE=3x-x+x=3x,∵tan∠ACB=AECE=x3x=33,∴∠ACB=30°,故答案为:30.6.首先假设此方程有整数解,然后化5m2-6mn+7n2=2011为:4m2+(m-3n)2-2n2=2011,由奇数的平方除以4余1,偶数的平方除以4余0,可得只有m-3n是奇数,然后分别从n是偶数,m是奇数与m是偶数,n是奇数去分析,推出矛盾,则可证得关于m和n的方程5m2-6mn+7n2=2011不存在整数解.解答:证明:假设此方程有整数解.化5m2-6mn+7n2=2011为:4m2+(m-3n)2-2n2=2011,又∵2011是奇数,∴只有m-3n是奇数,若n是偶数,则m就是奇数.又∵奇数的平方除以8余1,偶数的平方除以8余0或4,∴4m2+(m-3n)2-2n2除以8的余数为4+1-0=5;∵2011除以8余3.∴这是一个矛盾;∴m可能为是偶数,n就是奇数,∵解原方程:m=6n±36n2-20(7n2-2011)10=3n±10055-26n25①,∵m是偶数,n是奇数,∴10055-26n2>0,且是个平方数,∴n2<387,即n≤19,然后将n=1,3,5,…,19代入①求解,但无符合条件的值.∴这也是一个矛盾.∴原方程无整数解.点评:此题考查了一元二次方程的整数根与有理根的知识.解题的关键只注意掌握反证法的应用与分类讨论思想的应用.7.因为a、b都是整数,所以|a+b|与(a-b)2的奇偶性相同,所以P为偶数,偶数中只有2是质数,所以P=2,因为|a+b|与(a-b)2都是非负数,(a-b)2是完全平方数所以(a-b)2只能为0或者1.解答:解:由于a+b+a-b=2a,而2a为偶数,推出|a+b|+(a-b)2=P必为偶.在质数中,唯一的偶质数只有2一个,故P=2.则|a+b|+(a-b)2=2,可知:任何整数的平方最小是0,然后是1,4,9…所以此处的(a-b)2只有0和1两个选择:①当(a-b)2=0,则|a+b|=2,解得:a=b,所以|2b|=2,|b|=1,则a=b=±1;②(a-b)2=1,则|a+b|=1,解得:a-b=±1,a+b=±1,组成4个方程组:a-b=1a+b=1,解之得:a=1,b=0;a-b=1a+b=-1,解之得:a=0,b=-1;a-b=-1a+b=1,解之得:a=0,b=1;a-b=-1a+b=-1,解之得:a=-1,b=0.综上,符合条件的整数对(a,b)共有6对:(1,1)(-1,-1)(1,0)(0,-1)(0,1)(-1,0).故选D.点评:此题主要考查了整数问题的综合应用,解答本题的关键是判断出P的值,再依次推导出|a+b|和(a-b)2的值即可.8.先把2010分解成分解为几个质数的平方和的形式,再求出k的值即可.解答:解:∵22+32+72+132+172+232+312=2010;22+32+72+112+132+172+372=2010.∴k=7.点评:本题考查的是质数与合数,能把2010分解为几个互不相等的质数的平方和的形式是解答此题的关键.9.根据题意通过假设的方法依次进行论证.解答:解:(1)如果有50所学校的男选手总数大于或等于全部男选手总数的一半,那就无需证明成立了,(2)如果有50所学校的男选手总数小于全部男选手总数的一半,那么剩下的49所学校的男选手总数就应该超过全部男选手总数的一半,因此,这49所学校的男选手数再任加1所学校的男选手数,其总数也必超过男选手总数的一半,同样道理,可证参赛的女选手总数也不小于全部女选手总数的一半.点评:本题主要考查了推理与论证的方法,需要考虑周全,比较简单.10.由于能被11整除的整数,其奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差也是11的倍数,根据这9个数字之和为45,那么奇位与偶位上的数字个数必定是:要么为4个,要么为5个,然后分情况讨论即可得出答案.解答:解:由于能被11整除的整数,其奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差也是11的倍数,但这9个数字之和为45,那么奇位与偶位上的数字个数必定是:要么为4个,要么为5个.假设奇位与偶位上的数字之和分别为a、b,则有:a+b=45,可知a、b必定为一奇一偶,a、b二者中最小为1+2+3+4=10,那么a、b只有一种可能解:28、17,要使组成的九位数最大,9、8、7、6、5应尽量排在前面,4、3、2、1尽量排在后面,换言之,也就是使前3个奇数位上数字尽量为9、7、5,偶位上的前两个数字尽量为8、6,再看下二者各自能否相加组合得到28和17,(1)奇数位上的:28-(9+7+5)=7,7要拆成两个数之和,只能拆成3+4;(2)偶数位上的:17-(8+6)=3,只能拆成1+2;所以该九位数前五个是:98765****,后四个要最大,只能是2413.综上得:最大的九位数为987652413.点评:本题主要考查数的整除性问题,难度较大,需要很强的逻辑思维能力,解答本题时要充分利用讨论试探的方法,对于此类题目往往不能一步到位,而需要慢慢试探着进行.
本文标题:一些很经典的初中数学竞赛试题
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