竞赛讲座 09圆

竞赛讲座09－圆基础知识如果没有圆，平面几何将黯然失色．圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系．圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题，“三角形的心”，“几何著名的几何定理”，“共圆、共线、共点”，“直线形”将构成圆的综合问题的基础．本部分着重研究下面几个问题：1．角的相等及其和、差、倍、分；2．线段的相等及其和、差、倍、分；3．二直线的平行、垂直；4．线段的比例式或等积式；5．直线与圆相切；6．竞赛数学中几何命题的等价性．命题分析例1．已知A为平面上两个半径不等的⊙1O和⊙2O的一个交点，两圆的外公切线分别为2121,QQPP，1M、2M分别为11QP、22QP的中点，求证：2121AMMAOO．例2．证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形．例3．延长AB至D，以AD为直径作半圆，圆心为H，G是半圆上一点，ABG为锐角．E在线段BH上，Z在半圆上，EZ∥BG，且2EZEDEH，BT∥HZ．求证：ABGTBG31．例4．求证：若一个圆外切四边形有两条对边相等，则圆心到另外两边的距离相等．例5．设A是△ABC中最小的内角，点B和C将这个三角形的外接圆分成两段弧，U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点，线段AB和AC的垂直平分线分别交线段AU于V和W，直线BV和CW相交于T．证明：TCTBAU．例6．菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于HGFE,,,，在⌒EF与⌒GH上分别作⊙O切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．例7．⊙1O和⊙2O与△ABC的三边所在直线都相切，HGFE,,,为切点，并且FHEG,的延长线交于点P．求证：直线PA与BC垂直．例8．在圆中，两条弦CDAB,相交于E点，M为弦AB上严格在E、B之间的点．过MED,,的圆在E点的切线分别交直线BC、AC于GF,．已知tABAM，求EFCE（用t表示）．例9．设点D和E是△ABC的边BC上的两点，使得CAEBAD．又设M和N分别是△ABD、△ACE的内切圆与BC的切点．求证：NENCMDMB1111．例10．设△ABC满足90A，CB，过A作△ABC外接圆W的切线，交直线BC于D，设A关于直线BC的对称点为E，由A到BE所作垂线的垂足为X，AX的中点为Y，BY交W于Z点，证明直线BD为△ADZ外接圆的切线．例11．两个圆1和2被包含在圆内，且分别现圆相切于两个不同的点M和N．1经过2的圆心．经过1和2的两个交点的直线与相交于点A和B，直线MA和直线MB分别与1相交于点C和D．求证：CD与2相切．例12．已知两个半径不相等的⊙1O和⊙2O相交于M、N两点，且⊙1O、⊙2O分别与⊙O内切于S、T两点．求证：MNOM的充要条件是S、N、T三点共线．例13．在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，⊙1O过A、B且与边CD相切于点P，⊙2O过C、D且与边AB相切于点Q．⊙1O和⊙2O相交于E、F，求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC∥AD．例14．设凸四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，且两对边AB与CD不平行．点P为线段AB与CD的垂直平分线的交点，且在四边形的内部．求证：A、B、C、D四点共圆的充要条件为PCDPABSS．训练题1．△ABC内接于⊙O，90BAC，过B、C两点⊙O的切线交于P，M为BC的中点，求证：（1）BACAPAMcos；（2）PACBAM．2．已知CBA,,分别是△ABC外接圆上不包含CBA,,的弧⌒⌒⌒ABCABC,，的中点，BC分别和AC、BA相交于M、N两点，CA分别和BA、CB相交于P、Q两点，AB分别和CB、AC相交于R、S两点．求证：RSPQMN的充要条件是△ABC为等边三角形．3．以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、CA分别交于点D和E，过D、E作BC的垂线，垂足分别为F、G．线段DG、EF交于点M．求证：BCAM．4．在△ABC中，已知B内的旁切圆与CA相切于D，C内的旁切圆与AB相切于E，过DE和BC的中点M和N作一直线，求证：直线MN平分△ABC的周长，且与A的平分线平行．5．在△ABC中，已知，过该三角形的内心I作直线平行于AC交AB于F．在BC边上取点P使得BCBP3．求证：BBFP21．6．半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆于DC,，交AB于M（MDMCMAMB,）．设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外之另一交点．求证：MKO为直角．7．已知，AD是锐角△ABC的角平分线，BAC，ADC，且2coscos．求证：DCBDAD2．8．M为△ABC的边AB上任一点，rrr,,21分别为△AMC、△BMC、△ABC的内切圆半径；,,21分别为这三个三角形的旁切圆半径（在ACB内部）．求证：rrr2211．9．设D是△ABC的边BC上的一个内点，AD交△ABC外接圆于X，P、Q是X分别到AB和AC的垂足，O是直径为XD的圆．证明：PQ与⊙O相切当且仅当ACAB．10．若AB是圆的弦，M是AB的中点，过M任意作弦CD和EF，连DECD,分别交AB于YX,，则MYMX．11．设H为△ABC的垂心，P为该三角形外接圆上的一点，E是高BH的垂足，并设PAQB与PARC都是平行四边形，AQ与BR交于X．证明：EX∥AP．12．在△ABC中，C的平分线分别交AB及三角形的外接圆于D和K，I是内切圆圆心．证明：（1）CIIKID111；（2）1IKIDIDCI．