竞赛讲座 15函数方程

竞赛讲座15-函数方程一、相关知识函数方程)()(xfxf的解是函数方程)()(axfxf)0(a的解是二、函数方程的题型许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。1、确定函数的形式尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限个解的，有可能无解（如：方程01)()(22xfxf无解）。2、确定函数的性质3、确定函数值三、求函数的解析式1、换元法例题1、设函数)(xf满足条件xxfxf2)1(2)1(3，求)(xf。例题2、设函数)(xf定义于实数集R，且)(xf满足条件xxxfxf1)1()(，求)(xf。1ex：函数)(xf在0x处没有定义，但对所有非零实数x有：xxfxf312)(，求)(xf。答案：xxxf22)(2ex：求满足条件422)1()(xxxfxfx的)(xf。2、赋值法例题1、设函数)(xf定义于实数集R上，且1)0(f，若对于任意实数m、n，都有：)12()()(nmnmfnmf，求)(xf。例题2、设函数)(xf定义于自然数集N上，且1)1(f，若对于任意自然数x、y，都有：xyyfxfyxf)()()(，求)(xf。四、究函数的性质例题、设函数)(xf定义于R上，且函数)(xf不恒为零，0)2(f，若对于任意实数x、y，恒有：)2()2(2)()(yxfyxfyfxf。①求证：)()2(xfxf②求证：)()(xfxf③求证：1)(2)2(2xfxf3ex：若对常数m和任意x，等式)(1)(1)(xfxfmxf都成立，求证：函数)(xf是周期函数。4ex：设函数)(xf定义于实数集R上，函数)(xf不恒为零，且对于任意实数1x、2x，都有：)()()2()2(212121xxfxxfxfxf，求证：)()(xfxf。