广东省珠海市2009年高中数学竞赛试题

广东省珠海市2009年高中数学竞赛试题一选择题(每题5分,满分60分)1.如果a,b,c都是实数，那么P∶ac0,是q∶关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的（）（A）必要而不充分条件（B）充要条件（C）充分而不必要条件（D）既不充分也不必要条件2.某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（）。（A）1005.03克（B）(1－0.5%)3克（C）0.925克（D）100125.0克3.由甲城市到乙城市t分钟的电话费由函数g(t)=1.06×(0.75[t]+1)给出，其中t0，[t]表示大于或等于t的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（）。（A）5.83元（B）5.25元（C）5.56元（D）5.04元4.已知函数0，则的值A、一定大于零B、一定小于零C、等于零D、正负都有可能5.已知数列3，7，11，15，…则113是它的（）（A）第23项（B）第24项（C）第19项（D）第25项6.已知等差数列}{na的公差不为零，}{na中的部分项,,,,,321nkkkkaaaa构成等比数列，其中,17,5,1321kkk则nkkkk321等于（）(A)13nn(B)13nn(C)13nn(D)都不对7.已知函数xbxaxfcossin)(（a、b为常数，0a，Rx）在4x处取得最小值，则函数)43(xfy是（）A．偶函数且它的图象关于点)0,(对称B．偶函数且它的图象关于点)0,23(对称C．奇函数且它的图象关于点)0,23(对称D．奇函数且它的图象关于点)0,(对称8.如果AAtan1tan1=4+5，那么cot（A4）的值等于()A-4-5B4+5C-541D5419.已知︱OA︱=1，︱OB︱=3,OBOA=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设OC=mOA+nOB(m、n∈R)，则nm等于A.31B.3C.33D.310.等边△ABC的边长为，AD是BC边上的高，将△ABD沿AD折起，使之与△ACD所在平面成1200的二面角，这时A点到BC的距离是A、B、C、3D、211.抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体玩具，“向上的两个数之和为3”的概率是（）A．31B．61C．361D．18112.对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=︱x1－x2︱+︱y1－y2︱.给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2；③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖‖AB‖.其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3二填空题:(每题5分,满分30分)13棱锥的底面面积为150cm2,平行于底面的截面面积为54cm2底面和截面距离为14cm,则这个棱锥高为_________14函数y=x－2+的最小值是________;最大值是________.15.若数列｛an｝由a1=2，an+1=an+2n(n≥1)确定，求通项公式an==________.16.有一公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一个时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为)(nP，且)(nP与时刻t无关，统计得到6,051,)0()21()(nnPnPn，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P(0)的值是．17.定义在N＋上的函数f(x)，满足f(1)＝1，且f(n+1)=.),(,),(21为奇数　为偶数nnfnnf则f(22)=．18.定义在R上的函数)(xfy，它同时满足具有下述性质：①对任何);()(33xfxfRx均有②对任何).()(,,212121xfxfxxRxx均有则)1()1()0(fff．三解答题(每题15分,满分60分)19.三角形ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为，若，求角C的大小。20.一农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400公斤，若种花生，则每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每亩每期240元，而花生只要80元，且花生每公斤可卖5元，稻米每公斤只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物应各种多少亩，才能得到最大利润？21．已知点的序列*),0,(NnxAnn，其中21,021xx，3A是线段21AA的中点，4A是线段32AA的中点，nA,是线段)3(12nAAnn的中点，（1）写出nx与21,nnxx之间的关系式)3(n；（2）设nnnxxa1，求na的通项公式。22.（本小题满分14分）已知二次函数满足条件：=，且方程=有等根。(Ⅰ)求的解析式；(Ⅱ)是否存在实数m、n(mn)，使的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]?如果存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由。珠海市2009年高中数学竞赛试题参考答案一选择题1.B2.D3.A4.B5.D6.A7.D8.B9.B10.A11.D12.B二填空题:13.3514222;41522nnan16.633217.1024118.019解:由=cosB，故B=600，A+C=1200。…………………..5’于是sinA=sin(1200-C)=，…………………8’又由正弦定理有：，………………….10’从而可推出sinC=cosC，得C=450。…………………….15’20解：设水稻种x亩，花生种y亩，则有题意得：即…………………………6’而利润P＝（3×400－200）x＋（5×100－80）y＝960x+420y…………………9’所以当x＝1.5，y＝0.5时，Pmax＝960×1.5＋420×0.5＝1650（元）…………14’即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得的利润最大。……………………15’21.解:（１）212nnnxxx（ｎ３）；……………………6’（２）na＝1nnxx＝12nnxx－nx＝12nnxx，…………..9’由此可见，数列na是公比为12的等比数列，………………….12’na＝n)21(（ｎN）。…………..15’22.解:Ⅰ）。………………..7’（Ⅱ）存在m=-4，n=0满足要求。………………….15’