湖州市初三数学竞赛试题

2010年湖州市初三数学竞赛试题（2010年12月12日上午9：00—11：00）题号一二三总分1－89－1415161718得分评卷人复查人答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线．3．可以用计算器一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．记24256121212121xx，则是（）A．一个奇数B．一个质数C．一个整数的平方D．一个整数的立方2．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式bca的值等于（）．A.43B.6C.43D.63．右图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像（收支差额=车票收入-支出费用）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格.现给出四个图像（如图所示）,则下列叙诉正确的是（）11xyOA11xyOA11xyOy11xOAA11xyO①②③]]\\④得分评卷人A．①反映了建议（2），③反映了建议（1）B．①反映了建议（1），③反映了建议（2）C．②反映了建议（1），④反映了建议（2）D．④反映了建议（1），②反映了建议（2）4．如图，梯形ABCD中，ADBC∥，点E在BC上，AEBE，点F是CD的中点，且AFAB，若2.746ADAFAB，，，则CE的长为（）A．22B.231C.2.5D.2.35．用下图中的两个转盘做游戏。第一个转盘为圆形，O为圆心，且∠AOB=∠BOC=90°；第二个转盘为矩形，O′为矩形中心，且3BACB。若同时转动两个转盘，则转盘停止后指针同时指向a的概率是（）.A．121B．91C．81D．616．将数2，2，6，22，10，…512按下图的方法进行排列.226221032144235222622672…………┆┆┆┆┆┆……………512若23的位置记为（2，3），72的位置记为（3，2），则这列数中最大的有理数n的位置记为（）.A．（16，3）B．（17，3）C．（16，2）D．（17，2）7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则（）.A．pqB．p=qC．pqD．p、q的大小关系不能确定8．已知平行四边形ABCD的边AB=m，AD=n（m＞n）.若P为边CD上的一动点，且记DP=x，直线AP交BC的延长线于点Q，则使得DP＋CQ为最短时，m、n、x应满足关系（）.O1xyA．2nmxB．mnxC．222xnmD．nmx111二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．若正整数x、y满足x2-y2=64，则这样的正整数对（x,y）有对.10．已知非负数abc，，满足条件75abca，，设Sabc的最大值为m，最小值为n，则mn的值为.11．有一列数，按顺序分别表示为：123naaaa、、、、，且每一个数减去它前面一个数的差都相等，即11221nnnnaaaaaa，若已知1579113()2()12aaaaa，则1211aaa=.12．已知实数a、b、x、y满足xy=20102010，12010112010112011yxba。则2010a+b的值为.13．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（yx,）称为整点，如果将二次函数y=x2－6x＋411的图像与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个.14．今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角板a的30º角的那一头插入三角板b的圆洞内（如图2），则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为cm2．图1ba得分评卷人三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．已知在平面直线坐标系内有一直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y=7m＋4.（1）若不论m为何值，直线l都经过一定点，试求这个定点的坐标.（2）若以A(1，2)为圆心，3为半径画⊙A，求⊙A被直线l截得的最短弦长.16．甲、乙两辆汽车同时从A地出发，沿同一方向直线行驶，甲车最多能带a升汽油，乙车最多能带b升汽油（a≥b且均为油箱的最大容量），途中不能再加油，但是两车可相互借对方的油，最终两车要返回A地.请设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发点A，并求出这辆车一共行驶了多少千米？（两车耗油相同，每升油可使一辆车前进12km.）得分评卷人得分评卷人17．阅读理解：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞.即当n为非负整数时，如果n－21≤x＜n＋21，那么＜x＞＝n.如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2（1）若＜2x－1＞＝3，求实数x的取值范围.（2）设n为常数，且为正整数，函数y=x2－x＋41的自变量x在n≤x＜n＋1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a；满足＜k＞＝n的所有整数k的个数记为b.求证：a=b.得分评卷人18.已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD,AD上，AH=2，连接CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当△FCG的面积为1时，求DG的长；（3）当△FCG的面积最小时，求DG的长.HGFEBADC得分评卷人18．阅读理解：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞.即当n为非负整数时，如果n－21≤x＜n＋21，那么＜x＞＝n.如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2（1）若＜2x－1＞＝3，求实数x的取值范围.（2）设n为常数，且为正整数，函数y=x2－x＋41的自变量x在n≤x＜n＋1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a；满足＜k＞＝n的所有整数k的个数记为b.求证：a=b.得分评卷人2010年湖州市初三数学竞赛参考答案一、选择题1．C2．A3．B4．D5．D6．D7．C8．B.二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．210．711．1112．201013．2514．8＋34三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．解：（1）将直线l方程变为m(2x＋y－7)=4－x－y.∵不论m为何值，直线l都经过一定点∴上述关于m的方程有无穷多个解，∴04072yxyx------------4分解得13yx-------------2分∴直线l经过定点（3，1）（2）连接AB，过B作直线l⊥AB交⊙A于C、D，则CD为直线l被⊙A截得的最短弦，连AC∵A（1，2）B（3，1）∴AB=5-------------2分又∵AC=3由勾股定理得BC=222ABAC-------------2分由垂径定理得CD=2BC=4-------------2分即直线l被⊙A截得的最短弦长为4。16．解：两车由A地行驶到B地，乙车在B地停留，先借给甲车部分汽油，让甲车油箱加满，甲车最远行驶到C地用掉油箱中一半的油，再返回B地时用掉油箱中另一半油，此时，乙车再第二次借汽油给甲车，两车同时返回至A地。设甲车从A地到C地共用汽油x升，乙车从A地到B地共用汽油y升，则ayxbayx21)(21----------------------------------------6分解得x=4,42byba----------------------------------------4分故这辆车（甲）共行驶路程为：))(2(624212kmbaba。-------2分17.解：（1）由题意知25≤2x－1＜27-----------------------------4分解得47≤x＜49------------------------------2分（2）y＝x2－x＋41＝(x－21)2，它的对称轴是直线x＝21，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大.∵n为正整数∴n≥1∴当n≤x＜n＋1时对应的函数值y的范围为(n－21)2≤y＜(n＋21)2.-------2分∴a＝(n＋21)2－(n－21)2＝2n.∵＜k＞＝n∴n－21≤k＜n＋21---------------------------------------2分∴(n－21)2≤k＜(n＋21)2∴b=(n＋21)2－(n－21)2=2n∴a＝b---------------------------------------------------------------2分18.解：（1）证得△AHE≌△DGH∴DG=AH=2----------4分（2）作FM⊥DC，M为垂足，连结GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF.----------------2分在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90º，HE=FG，∴△AHE≌△MFG.∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2.因此S△FCG=221GC=1，解得GC=1，DG=6.----------------------4分（3）设DG=x，则由第（2）小题得，S△FCG=7-x，又在△AHE中，AE≤AB=7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，x≤37,∴S△FCG的最小值为377，此时DG=37.--------------------4分M22HGFEBADC