浙江省高中数学竞赛试题及解答

2013年浙江省高中数学竞赛试题解答一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1．集合{,11PxxRx}，{,1},QxxRxa且PQ,则实数a取值范围为（）A.3aB.1a.C.1a或3aD.13a答案C{02},{11},PxxQxaxa要使PQ，则12a或10a。解得1a或3a。2．若,,R则90是sinsin1的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D若0,90sinsin1。当60sinsin31，但90。3．已知等比数列{an}：,31a且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（）A.9381B.7381C.39D.33答案B计算得2733,qa7381。4.已知复数(,,zxyixyRi为虚数单位），且28zi，则z（）A.22ziB.22ziC.22,zi或22ziD.22,zi或22zi答案D5.已知直线AB与抛物线24yx交于,AB两点，M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，若0C满足00min{}CACBCACB，则下列一定成立的是（）。A.0CMABB.0,CMl其中l是抛物线过0C的切线C.00CACBD.012CMAB答案B2()()()CACBCMAMCMBMCMCMAMBMAMBM22minmin{}CMAMCACBCMCMl。6.某程序框图如下，当E0.96时，则输出的K=（）A.20B.22C.24D.25,答案C111110.9624.1223(1)1Skkkk7.若三位数abc被7整除，且,,abc成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（）个。A.4B.6C.7D8答案D设三位数为()()11199(09,99,0),bdbbdbdbdd由7(11199)7()1,1;2,2;3,3;bdbdbdbdbd4,3,4;bd5,2;6,1;8,1bdbdbd。所以，所有的三位数为210,420,630,147,840,357,567,9878.已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（）。A.33B.332C.932D.934开始K=1，S=0S=S+1/（K(K+1)）S=E？输出KK=K+1是否答案D从图中可知，立体是由两个三棱柱组成。9.设函数234()(1)(2)(3)fxxxxx，则函数()yfx的极大值点为（）A.0xB.1xC.2xD.3x答案B由图象可知1x为函数极大值点，3x是极小值点，0,2x不是极值点。10.已知(),(),()fxgxhx为一次函数，若对实数x满足1,1()()()32,1022,0xfxgxhxxxxx，则()hx的表达式为（）。A.1()2hxxB.1()2hxxC.1()2hxxD.1()2hxx答案C22(1)1()22xhxx。二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11.若1tantan2,sinsin3xyxy，则xy_______23k__________。解答：由111tantan2,sinsincoscoscos()362xyxyxyxy，所以12正视图：上下两个正方形32123侧视图1俯视图：边长为2的正三角形xy23k。12.已知2()(1)2fxxkx，若当0x时()fx恒大于零，则k的取值范围为______(,221)_______。解答由222(1)201,22xkxkxxxx等号在2x取得，即221k。13.数列{},1,2,nnn，则数列中最大项的值为______33________。解答111ln/2()()(1ln)xxxxxfxxefxxxex为极大值点，所以数列最大项为第三项，其值为33。14.若,xyR，满足2222222()5xxyyxxx，则3x,y23。解答把等式看成关于x的一元二次方程22224(1)20(221)0(32)0,33yyyyyx。15.设直线l与曲线31yxx有三个不同的交点,,ABC,且5ABBC,则直线l的方程为_____21yx____________。解答曲线关于（0,1）点对称，设直线方程为1,(,)ykxAxy，则322211(2)(2)02(1)5ykxyxxkkkkxy。所求直线方程为21yx。16.若0,0,ab则2211min{max(,,)}abab_______32_________________。解答2222211112max{,,},,abmambmmmababm32m，所以2211min{max(,,)}abab32。17.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限,xy轴上的整点），其运动规律为(,)(1,1)mnmn或(,)(1,1)mnmn。若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有__________9_________种不同的运动轨迹。解答21669CC.三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）18.已知抛物线24yx，过x轴上一点K的直线与抛物线交于点,,PQ两点。证明，存在唯一一点K，使得2211PKKQ为常数，并确定K点的坐标。解答设K（,0a），过K点直线方程为()ykxa，交抛物线于1122(,),(,),AxyBxy联立方程组222222221212242(2)2(2)0,()yxakkxakxakxxxxakykxa…5分2222221122(),()PKxayKQxay……………………………………7分222221112(1)akakPKKQ，……………………………………………………12分令2a22111,(2,0)4KPKKQ。…………………………………………17分19.设二次函数2()(21)2(,,0)fxaxbxaabRa在[3,4]上至少有一个零点，求22ab的最小值。解法1由已知得，设t为二次函数在[3,4]上的零点，则有2(21)20atbta，变形222222222222(2)[(1)2]()((1))()(1)tatbtabttabt，……5分于是22222211()51100(24)2tabttt，……………………………12分因为52,[3,4]2ttt是减函数，上述式子在233,,2550tab时取等号，故22ab的最小值为1100。………………………………………………………………17分解法2把等式看成关于,ab的直线方程2:(1)220xaxbx，利用直线上一点（,ab）到原点的距离大于原点到直线的距离，即222222(1)(2)xabxx（以下同上）。20.设xN满足201312014.2013xx数列122013,,,aaa是公差为2013x，首项220121(1)1axx的等差数列；数列122013,,,bbb是公比为1,xx首项20131(1)bxx的等比数列，求证：11220122013babab。解：首先，201320122)1(1)1(xixxai，-----------------2分iiiixxxxxxb201412013)1()1()1(。-----------------4分iiixxxbb)1(20131…………………………………………6分用归纳法证明20131,201320142013iixbaii。由于201320122013111xxxba，即i=1成立。……………………8分假设20121i成立，则)()1()()()(201320131111iiiiiiiiiiibaxxxxbabbaaba)(20131)()1(201320320132013iiiibaxbaxxxx2013)1(201420131201320131201320132013ixixx。…………………14分所以，2013,,2,1,ibaii。归纳证明2012,,2,1,1iabii，首先0112ab，假设20111i成立，则)()()(111212iiiiiiiiabaabbab0)()1(1201312013iiiabxxxx。…………………………………………17分故命题成立。四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）21.设,,,3,abcRabbcca证明555322322322()()()9abcabcbcacab。解答原命题等价于333222()()9abcabc，………………………………10分又22233323()9(),3abcabc…………………………………………………20分故只需要证明2223abc成立。…………………………………………………25分利用已知条件，这是显然的。22.从0,1,2，…，10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”。试问：对图1和图2是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由。解答对图1，上述填法即为完美（答案不唯一）。………………………………10分对于图2不存在完美填法。因为图中一共有10条连线，因此各连线上两数之差的绝对值恰好为，1,2,3，……，10，……………………………………………………………15分其和1213237855saaaaaaaa为奇数。………………20分另一方面，图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述S的表达式中出现偶数次。因此S应为偶数，矛盾。………………………………………25分所以，不存在完美填法。1079651（图1）(图2)A1A2A3A4A5A6A7A8