全国高中数学联赛安徽省预赛试题及答案

2011年全国高中数学联赛安徽省预赛安徽省预赛的命题工作是由安徽省数学会负责，预赛试题所涉及的知识范围，完全参考了《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，但在方法的要求上有所提高，主要考查学生对所学的基本知识和基本技能的掌握情况，以及灵活运用知识的综合能力.试题包括8道填空题，4道解答题，满分150分，考试时间为2小时.印制试卷严格按照联赛的要求，秘密印卷，采用大包30份，小包10份的包装，通过保密渠道，在9月9日左右寄达各市教研室.各市教研员在收到试题后派专人保管，并在考前5分钟拆封.安徽省预赛于2011年9月10日举行，在这个值得庆贺日子“教师节”，我省17各地市的高中数学老师都在认真地监考.共有31078名学生在各地、县中学参加考试.初赛结束后，各地教研员认真组织改卷、初评和复评工作，坚持公开、公正、公平的原则，最终复评后确定了1130人有参加10月16日到中国科学技术大学参加全国高中数学复赛的资格.试题一、填空题（每小题8分，共64分）1．以X表示集合X的元素个数.若有限集合CBA,,满足20BA，30CB，40AC，则CBA的最大可能值为.2．设a是正实数.若Rxaaxxaaxxxf，222252106)(的最小值为10，则a.3．已知实系数多项式dcxbxaxxxf234)(满足2)1(f，4)2(f，6)3(f，则)4()0(ff的所有可能值集合为.4．设展开式2011)15(10nxaxaaxnnn，.若),,,max(102011naaaa，则n.5．在如图所示的长方体EFGHABCD中，设P是矩形EFGH的中心，线段AP交平面BDE于点Q.若3AB，2AD，1AE，则PQ.6．平面上一个半径r的动圆沿边长a的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为.7．设直角坐标平面上的点),(yx与复数iyx一一对应.若点BA,分别对应复数1,zz（Rz），则直线AB与x轴的交点对应复数（用z表示）.8．设n是大于4的偶数.随机选取正n边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率为.二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分）9．已知数列}{na满足121aa，4121nnaaa（3n），求na的通项公式.10．已知正整数naaa,,,21都是合数，并且两两互素，求证：2111121naaa.11．设cbxaxxf3)(（cba,,是实数），当10x时，1)(0xf.求b的最大可能值.第5题第6题12．设点)0,2()0,1()0,1(CBA，，，D在双曲线122yx的左支上，AD，直线CD交双曲线122yx的右支于点E.求证：直线AD与BE的交点P在直线21x上.本文档选自华东师范大学出版社的《高中数学联赛备考手册（2012）（预赛试题集锦）》，该书收录了2011年各省市预赛试题和优秀解答。预赛命题人员大多为各省市数学会成员，试题在遵循现行教学大纲，体现新课标精神的同时，在方法的要求上有所提高。命题人员大多同时兼任各省市高考命题工作，试题对高考有一定的指导作用，本书架起了联赛与高考的桥梁，是一本不可或缺的备考手册。图书推荐：“奥数”联赛冲刺篇“奥数”IMO终极篇更多免费图书资料，请在百度文库中搜索“学奥数，这里总有一本适合你”。解答1.10.2.2.3.{32}.4.2413.5.417.6.2π46rar.7.zzzz1.8.)3)(1(3nn.9．1221144nnnnaaaaa1211112222nnnnnaaaa11212122nnnnnnnanaa.10．设ka的最小素因子kp，因为ka不是素数，所以2kkpa.于是211222211114(21)114(21)1111242nnkkkknknkapkkn11．由13333(0)(1)()abfcfabcfc可知13233()(1)(331)(0)33bfff)()(3233xxxf满足题设，b的最大可能值为233.12．设),(),(),(2211yxPyxEyxD，，，直线CD的方程)2(xky，则222(2)1xkx，所以221212122241451()114kkxxxxxxkk，，①1212(1)(1)11yyxyxxx，所以21212121121221212121212211112322341111yyxxxxxxxxxxxyyxxxxxxxx。把①代入上式，得21x.