华南理工大学高等数学 11届 统考卷下 2

共5页第1页高等数学下册试卷B2012．9．17姓名：学院与专业：学号：一、填空题[共20分]1.若函数22,22fxyxaxxyy在点1,1处取得极值，则常数a52.设1xyxfxedy,则10fxdx112e3.假设L为圆222xya的右半部分，则22Lxyds2a4.设22sin2xAeyixyzjxzyk,则1,0,1divA05.设,fuv可微，且,xzfxe，则dzdx12xfef二、（本题8分）计算二重积分cosDxxyd，其中D是顶点为0,0,,0,,的三角形闭区域。解:00coscos(3)xDxxyddxxxydy0sin2sin(3)xxxdx3(4)22三、（本题8分）设函数222222221sin,0,0,0xyxyxyfxyxy。试证,fxy在点0,0处是可微的解用定义求出0,00,0,00(2)xyff20,00,01sin(2)xyzfxfy共5页第2页00,00,0lim0(2)xyzfxfy0,00,0(2)xyzfxfyo四、（本题8分）设2,3yzxyx，其中可微，证明220zzxxyyxy证明由于222,(4)33zyzyyxxxyx22222220(4)33zzyyxxyyxyxyxyxyxx五、（本题8分）计算3133xyxyLyexydxxexydy,其中L是椭圆22221xyab的正向一周解:由格林公式3133xyxyLyexydxxexydy4(4)Ddxdy4(4)ab六、（本题8分）计算ydS,其中是平面4xyz被圆柱面221xy截出的有限部分解由题意11111,1,1,,,,cos3333nn或224,1,1,1113(4)zzzxydSdxdydxdyxy从而210033sin0(4)xyDydSydxdydrrdr七、（本题8分）计算曲面积分Izdxdyydzdxxdydz,其中为柱面221xy介于0z与3z之间的在第一卦限部分的前侧.解补平面区域221:31,0,0zxyxy取上侧，222:01,0,0zxyxy取下侧，3:001,03yxz取左侧，共5页第3页4:001,03xyz取后侧。与原来曲面形成封闭曲面的外侧,围成由高斯公式123493(4)4zdxdyydzdxxdydzdv123433,04Ddxdy故原式933(4)442八、（本题6分）求微分方程3yyxy的通解解方程即22,(2)dxxdxxyydyydyy112ln2lndydyyyyyxeyedyceyedyc2311422yydycyycycy九、（本题6分）求微分方程543yyy的通解解对应的齐次方程的特征方程为2540rr1,2125251653,1,4222rrr对照非齐次项的标准形式,0,0xmfxPxem不是特征根，故0k特解的待定形式为*kxmyxQxea，代入非齐次方程，得324a从而原方程的通解为412324xxycece十、（非化工类做）（本题6分）求幂级数1nnxn的收敛域.解1lim1nnnaRa2当1x时，由于111,2npn，p级数发散，3共5页第4页当1x时，由于11,nnn，由交错级数的莱布尼茨判别法知该级数收敛，5故幂级数收敛域为[1,1)6十一（非化工类做）（本题7分）将函数arctanfxx展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间.解由于2220111,111nnnfxxxxx，3从而22100011,[1,1]21nxnnnnnfxxdxxxn7十二、（非化工类做）（本题7分）设函数fx是以2为周期的函数，,0fxxx，将其展开成余弦级数，并确定其成立的范围。.解:0nb，10200221,cos112nnaxdxaxnxdxn5所以21111cos,,4nnfxnxxn7十、（化工类做）（本题6分）求解微分方程初值问题2001yyxyy解2*210,,2rriyx是一个特解2故通解为212cossin2ycxcxx4由1013yc，又122sincos2,01`1ycxcxxyc从而特解为23cossin2yxxx6十一、（化工类做）（本题7分）计算曲线积分2Lydxxdyxy，其中L表示第四象限内以0,1A为起点，1,0B为终点的光滑曲线解223,,xyyxxyPQQPxyxyxy2共5页第5页所求解问题与路径无关，选折线:1,:01;:1,:10ACyxCBxy0110222001111111111112211Lydxxdydxdyxyxyxy7十二、（化工类做）（本题7分）设长方形的长、宽、高分别为,,xyz，且满足1111xyz，求体积最小的长方体。解令Vxyz，1111Lxyzxyz2由22200011110xyzLyzxLxzyLxyzLxyz，求出唯一驻点3,3,36从而长、宽、高分别为3,3,3时，所求体积最小7