高数下试卷分类解析-04级数

高数下试卷分类解析-级数2011级十、（非化工类做）（本题7分）求幂级数2113231nnnxnn的收敛域.解11113134lim1,132311nnnnnRRRnn当1x时，由于211,2132319npnnn，p级数收敛，故幂级数111132313231nnnnnnn也收敛因此当1x时幂级数绝对收敛而收敛。从而收敛域为1,1十一（非化工类做）（本题7分）将函数2cosfxx展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间.解由于1cos22xfx，201cos1,,2!nnnxxxn；从而220111411211,,22!22!nnnnnnnfxxxxnn十二、（非化工类做）（本题7分）设函数1,0fxxx展开成正弦级数。.解:作奇延拓，再作周期延拓。由新函数的奇函数性质，00a，002221sin1cos1cos1nbxnxdxxdnxnnn2111,1,2,,nnn所以1,0,2~111sin0,0,nnfxxkfxnxnx12111sin,0,nnfxnxxn2010级十、（非化工类做）（本题6分）求幂级数121114nnnnxn的收敛域.解1111114lim4,241nnnnnnRRRn当2x时，幂级数化为111nnn收敛；当2x时，幂级数化为111nnn也收敛从而收敛域为2,2十一（本题7分）将函数22xfxxx展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间.解11112131231612xxxxfxxxxxxx011,1,11nnnxxx；01,2,2212nnnxxx从而011,1,1362nnnnfxxx十二、（非化工类做）（本题6分）设函数fx是以2为周期的周期函数，它,在上的表达式为1,01,0xfxx，将其展成傅立叶级数，并确定其成立范围。.解:由函数,上的奇函数性质，00a，022sin11,1,2,,nnbnxdxnn所以1,221~sin,0,1,2,0,nnfxxkfxnxknxk2009级八、[6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）证明阿贝尔定理：若0000nnnaxx收敛,则当0xx时,幂级数0nnnax绝对收敛;若10nnnax发散,则当1xx时,幂级数0nnnax发散.九、[7分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）将函数210fxxx展开成余弦级数十、[6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）求幂级数13nnnxn的收敛半径和收敛域.2008级十、[6分]（非化工类做）设0a且ae，试根据a的值判定级数1!nnnnan的敛散性解：!nnnnuan，从而111111!limlimlim1!nnnnnnnnnnnuanenuannaa当1，即ae时，级数1!nnnnan收敛；当1，即0ae时，该级数发散十一、[6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设fx是周期为2的周期函数，它在[,)上的表达式为fxx，试将函数fx展开成傅立叶级数解：0110,cos0nafxdxafxnxdx，（奇函数在对称区间上积分）100001222sincoscoscos1nnbfxnxdxaxdnxxnxnxdxnnn从而1121sin,21nnfxnxxkn十二、[7分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设2112121!nnnxfxn，证明：fx满足微分方程4fxfx，并求fx解：222321222221,122!23!nnnnnnxxfxfxfxnn从而211241421!nnnxfxfxn而且00,02ff解初值问题4fxfx，00,02ff21,240,40,2fxfxrri，通解为12cos2sin2fxcxcx122sin22cos2fxcxcx，由初值条件：1220,22,1ccc，sin2fxx2007级十、[7分]（非化工类做）求幂级数01nnxn的收敛域及其和函数解：由112limlim111nnnnanan，从而1,1,1R为收敛区间又1x时级数发散（调和级数去掉第一项），1x时级数由莱布尼茨判别法知道其收敛，从而收敛域为[1,1)设01nnxSxn，则1001,1nnxSxSxn011nnxSxxx，010ln11xxSxxSxdxxx因此1,0ln1,10,01xSxxxxx十一、[6分]（非化工类做）将函数1ln1xfxx展开成x的幂级数解：fx的定义域为1,1，ln1ln1fxxx20011112,0ln1011nnnnnfxxxfxx从而2102,1,121nnfxxxn十二、[6分]（非化工类做）证明：在区间,上等式122201cos124nnxnxn成立证明：对,上的偶函数22124xfx作周期为2的周期延拓，再作出其傅立叶级数由收敛定理即可推出。由公式22230002201241212xxadxx122222000122sin1cos0,cos0124124nnxxnxnxnanxdxdxdnnnn0nb，从而由收敛定理知道122201cos124nnxnxn在,上一定成立2006级十一、（非化工类做，本题7分）求幂级数321111321nnxxxn的收敛域及其和函数解：收敛域[1,1]上321111321nnSxxxxn21,00,arctan1SxSSxxx十二、（非化工类做，本题7分）设函数fx以2为周期，它在[,]上的表达式为1,00,0,,1,0xfxxx求fx的Fourier级数及其和函数在x处的值解：021120,sinnnnabnxdxnfx的Fourier级数为411sinsin3sin535xxx和函数在x处的值为02005级三、a.[7分]（非化工类做本题，化工类不做本题）求无穷级数113nnnxn的收敛域及在收敛域上的和函数八、[8分]（非化工类做本题，化工类不做本题）将函数0,20()1,02xfxx展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围