大学课件-概率论与数理统计-连续型随机变量

连续型随机变量定义设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使得对一切实数ｘ，关系式()()∫∞−=xdttfxF连续型随机变量都成立，则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的密度函数。可以证明，连续型随机变量的分布函数是连续函数。-10-550.020.040.060.08xf(x)xF(x)分布函数与密度函数几何意义)(xfy=密度函数的性质定理密度函数f(x)具有下列性质：（1）（2）（3）（4）若f(x)在点ｘ处连续，则有F′(x)=f(x)()0≥xf()∫+∞∞−=1dxxf{}()()()∫=−=≤badxxfaFbFbXaP证明（１）由定义知f(x)≥0显然。（２）由分布函数性质知，()()1lim==∞++∞→xFFx()()()()1limlim=∞+===+∞→+∞∞−∞−+∞→∫∫FxFdttfdxxfxxx由广义积分概念与定义知，常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，{}()()aXPbXPbXaP−=≤()()()∫∫∫=−=∞−∞−babadxxfdxxfdxxf（３）()()aFbF−={}()()aXPbXPbXaP−=≤对任意类型的随机变量均成立bxf(x)-10-550.020.040.060.08a(４)()()()()()xdttfdttfxxFxxFxFxxxxxΔ−=Δ−Δ+=′∫∫∞−Δ+∞−→Δ→Δ00limlim()()()xfxxxxfxdttfxxxxx=ΔΔΔ+=Δ=→ΔΔ+→Δ∫θ00limlimf(x)描述了X在x附近单位长度的区间内取值的概率例１：设X是连续型随机变量，c为任意常数，试证P{X＝c}＝0证明对任意的h＞０，有{}{}()∫+=+≤≤=hccdxxhcXcPcXPϕ{}()0lim00=≤=≤∫+→hcchdxxcXPϕ故{}0==cXP即{}{}{}{}()()aFbFbXaPbXaPbXaPbXaP−==≤=≤=≤≤注：由P{X＝c}＝0，可知连续型随机变量X有„（１）求常数Ａ、Ｂ；„（２）判断ξ是否是连续型随机变量；„（３）求P{－1≤ξ1/2}例２：设随机变量ξ的分布函数为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥−+=−0,310,312xeBxeAxFxx解：（１）由分布函数性质得()AeAxFxxx=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+==−∞→−∞→31limlim0()BeBxFxxx=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==−+∞→+∞→231limlim1（２）因为所以F(x)不是连续函数，从而ξ不是连续型随机变量。()()32311031lim0=−=≠=−→FxFx（３）()11132131311121211−−−−=−−=−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤−eeeFFPξ均匀分布设a、b为有限数，且ab。如果随机变量X分布密度为()[][]⎪⎩⎪⎨⎧∉∈−=baxbaxabxf,,0,,1则称ξ在[a,b]上服从均匀分布，记作U(a，b)均匀分布随机变量的分布函数为：()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤−−==∫∞−bxbxaabaxaxdxxfxFx10)(xf(x)abxF(x)ba指数分布„若随机变量ξ具有分布密度为⎩⎨⎧≤=−000)(xxaexfax⎩⎨⎧≤−=−0001)(xxexFax)0(为常数a则称ξ服从参数为a的指数分布，容易求得它的分布函数为1xF(x)0xf(x)0对于任意的0ab,babaxeeaFbFxebXaPλλλλ−−−−=−==∫)()(d)(应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似若X~Ｅ(λ),则故又把指数分布称为“永远年轻”的分布)()(tXPsXtsXP=+指数分布的“无记忆性”事实上)()()(),()(sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP+=+=+)()(1)(1)(1)(1)(tXPeeesFtsFsXPtsXPtsts===−+−=≤−+≤−=−−+−λλλ命题例6设到某服务窗口办事，需排队等候。若等待的时间ξ是指数分布随机变量（单位:min），则其概率密度为某人到此窗口办事，在等待15分钟后仍未能得到接待时，他就愤然离去，若此人在一个月内共去该处10次。⎪⎩⎪⎨⎧≤=−000101)(10ttetft试求:（1）有2次愤然离去的概率;（2）昀多有2次愤然离去的概率;（3）至少有2次愤然离去的概率。解首先可求出他在任一次排队服务时，以愤然离去而告终的概率。在10次排队中愤然离去的次数Y～B（10，p），即Y服从n=10，p=0.2231的二项分布，于是所求的概率分别为2231.0)(101}15{2315101510≈=−===−∞+−∞−∫eedteXPptt6238.0}1{}0{1}2{1}2{)3(==−=−=−=≥YPYPYPYP2937.0)1(}2{)1(82210≈−==ppCYP6735.0)1()1(10)1(}2{}1{}0{}2{)2(82210910=−+−+−==+=+==≤ppCpppYPYPYPYP其中μ、σ0为常数，则称X服从参数为μ、σ的正态分布，简记为X～N(μ,σ2)。正态分布若随机变量X的分布密度222/)(21)(σμπσ−−=xexf)(+∞−∞xN(-3,1.2)-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.33−=μ应用场合若随机变量X受到众多相互独立的随机因素的影响,而每一因素的影响都是微小的,且这些影响可叠加,则X服从正态分布.可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；LLLLX的分布函数为dtexFtx222/)(21)(σμπσ−−∞−∫=特别地称N(0,1)为标准正态分布，其概率密度及分布函数常记为：2/221)(xex−=πφ∫∞−−=Φxtdtex2/221)(π∫∫−−==baxbadxedxxfbXaP222)(21)(}{σμπσ如X～N(μ,σ2)，有)()(}{σμσμ−Φ−−Φ=abbXaP证明：时也成立。或结论当+∞=−∞=ba)(21)(,2/2σμπσμ−Φ===−∞=∫−∞−−xdtexFxbaxt有时，特别地，当)()(σμσμ−Φ−−Φ=ab∫−−−=σμσμπbatdte2221∫−=−−baxxde)(21222)(σμπσμσμ−=xt令)1,0(~)(}{)()(}{}{)(NxxPxxFxPxPxFσμξσμσμσμξσμσμσμξξ−∴−Φ=−−∴−Φ=−−==Q)1,0(~),(~2NNσμξσμξ−，则如证明：例：设ξ～N(－1，4)，求P{1ξ2}0919.08413.09332.0)1()5.1()211()212(}21{=−=Φ−Φ=+Φ−+Φ=ξP解：（2）f(x)在区间(－∞，μ)内单调增加，在区间(μ，+∞)内单调减少，在x=μ处取得昀大值即x轴是f(x)的渐近线。πσμ21)(=f。时，或当0)(→+∞→−∞→xfxx正态分布的密度函数与分布函数有下列性质：（1）f(x)和F(x)处处大于零，且具有各阶连续导数；21)()(1)()(==−==≤μμμμXPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3（3）f(x)的图形关于直线x=μ对称，即)()(xfxf+=−μμ)()(xxϕϕ=−)(1)(xxΦ−=−Φ（4）F(μ－x)=1－F(u+x)特别特别x=μμf(x)x)()(,σμσμ−Φ=xxF（5）φ(x)x=μμ)(1,0xf)(1.0,0xf)(5.2,0xfμ固定时，σ的值越小，f(x)的图形就愈尖、越狭。σ的值越大，f(x)的图形就愈平、越宽。Show[fn1,fn3]σ大σ小-6-5-4-3-2-10.10.20.30.40.5几何意义σ大小与曲线陡峭程度成反比数据意义σ大小与数据分散程度成正比1)(2)](1[)()()(}{}{−Φ=Φ−−Φ=−Φ−Φ=−=xxxxxxxPxPξξ1)(2}{)1,0(~−Φ=xxPNξξ，则如证明：)](1[2}{)1,0(~xxPNΦ−=ξξ，则如证明：)](1[2}{1}{1}{xxPxPxPΦ−=−=≤−=ξξξ例1：设ξ～N(0,1)，借助于标准正态分布的分布函数Φ(x)的表计算：};24.1{)1(−ξP};54.1{)2(ξP（1）解：1075.08925.01)24.1(1)24.1(}24.1{=−=Φ−=−Φ=−ξP（2）1)54.1(2}54.1{−Φ=ξP5.0)0(=Φ-3-2-11230.10.20.30.4-xx)(1)(xxΦΦ−=−1)(2)|(|−=aaXPΦ-3-2-11230.10.20.30.4设ξ～N(0,1)，求使P{︱ξ︱x}=0.1的x。)](1[2}{xxPΦ−=ξ例2解：95.010.05.01}{211)(=×−=−=ΦxPxξx=1.645例3设已知测量误差X～N（0，102），现独立重复进行100次测量，求误差绝对值超过19.6的次数不少于3的概率。解：第一步:以A表示一次测量中“误差绝对值超过19.6”的事件，则有05.0)96.1(22}96.110{1}6.19{1}6.19{)(=Φ−=≤−=≤−==XPXPXPAP第二步:以Y表示100次独立重复测量中，事件A发生的次数，则η～B（100，0.05），所求概率是P（Y≥3）=1－P（Y3）8754.0!25!15!051)2()1()0(1)3(1)3(525150=−−−≈=−=−=−=−=≥−−−eeeYPYPYPYPYP第三步:由于n=100较大而p=0.05很小，故二项分布可用λ=np=5的泊松分布近似代替，查泊松分布表可得例4公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子身高ξ服从μ=170cm、σ=6cm的正态分布，即X～N（170，62），试确定车门的高度。解：设车门的高度为hcm，根据设计要求应有99.0)(01.0)(101.0)(≤∴≤−hXPhXPhXP18433.2617099.09901.0)33.2(99.0)6170()()()6170(~2=−∴Φ−Φ==≤∴hhhhXPhXPNX得＝＝查正态分布表得，Q例5：从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有两条路线可走，第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位分钟）服从正态分布N(50,100)，第二条沿环城公路走，路线较长，但意外堵塞较少，所需时间（单位分钟）服从正态分布N(60,16)，（1）如有70分钟可用，问应走哪一条路线？（2）如只有65分钟可用，问应走哪一条路线？解：应走第二条路线。的概率为：走第二条路线及时赶到的概率为：走第一条路线及时赶到分钟可用时有表示行车时间。设∴=−Φ=≤=−Φ=≤9938.0)46070(}70{9772.0)105070(}70{70)1(ξξξPP应走第一条路线。的概率为：走第二条路线及时赶到的概率为：走第一条路线及时赶到分钟可用时有∴=−Φ=≤=−Φ=≤8944.0)46065(}65{9332.0)105065(}65{65)2(ξξPP