2014届高三数学一轮复习-(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)8.6抛物线课件-新人教A版

[知识能否忆起]1．抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的．相等的点准线2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图像顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点离心率e＝1Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2[动漫演示更形象，见配套课件]y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离准线方程范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2[小题能否全取]答案：B1．(教材习题改编)抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是()A.18B．－18C．8D．－8解析：抛物线的标准方程为x2＝1ay.则a＜0且2＝－14a，得a＝－18.2．(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是()A．x2＝－12yB．x2＝12yC．y2＝－12xD．y2＝12x解析：∵p2＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y.答案：A3．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为()A．4B．6C．10D．16解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则依题意得焦点F(0，1)，准线方程是y＝－1，直线l：y＝3x＋1，由231,4,yxxy消去x得y2－14y＋1＝0，y1＋y2＝14，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝(y1＋y2)＋2＝16.答案：D4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．解析：其准线方程为x＝－2，又由点P到y轴的距离为4，则P点横坐标xP＝4，由定义知|PF|＝xP＋p2＝6.答案：65．(教材习题改编)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程是____________________．解析：由x＝0，y＝－2，由y＝0，x＝4即(0，－2)或(4,0)为抛物线的焦点∴抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.答案：y2＝16x或x2＝－8y1.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助．2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用．3．由y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)求焦点坐标时，只需将x或y的系数除以4，再确定焦点位置即可．[例1](1)(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()抛物线的定义及应用A.34B．1C.54D.74(2)(2013·曲阜师大附中质检)在抛物线C：y＝2x2上有一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(－2,1)B．(1,2)C．(2,1)D．(－1,2)[自主解答](1)如图，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，|CD|＝32，所以中点C的横坐标为32－14＝54.(2)由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x＝1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是(1,2)．[答案](1)C(2)B涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．1．(2012·安徽高考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知，y＝22，∴A(2,22)，∴直线AF的方程为y＝22(x－1)．212,,22(-1)222.4,2,xxyxyyxy,又解得或由图知，点B的坐标为12，－2，∴|BF|＝12－(－1)＝32.答案：32抛物线的标准方程及几何性质[例2](1)(2012·山东高考)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝833yB．x2＝1633yC．x2＝8yD．x2＝16y(2)(2012·四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A．22B．23C．4D．25[自主解答](1)∵双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴ca＝a2＋b2a＝2，∴b＝3a，∴双曲线的渐近线方程为3x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点0，p2到双曲线的渐近线的距离为3×0±p22＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.(2)依题意，设抛物线方程是y2＝2px(p0)，则有2＋p2＝3，得p＝2，故抛物线方程是y2＝4x，点M的坐标是(2，±22)，|OM|＝22＋8＝23.[答案](1)D(2)B1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p但要注意判断标准方程的形式．2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．2．(2011·湖北高考)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()A．n＝0B．n＝1C．n＝2D．n≥3解析：结合图形可知，过焦点斜率为33和－33的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两个正三角形．答案：C直线与抛物线的位置关系[例3](2012·福建高考)如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．[自主解答](1)依题意，|OB|＝83，∠BOy＝30°.设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝43，y＝|OB|cos30°＝12.因为点B(43，12)在x2＝2py上，所以(43)2＝2p×12，解得p＝2.故抛物线E的方程为x2＝4y.(2)证明：由(1)知y＝14x2，y′＝12x.设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝14x20，且l的方程为y－y0＝12x0(x－x0)，即y＝12x0x－14x20.由202000411,,2241,1.xxyxxxxyy得所以Q为x20－42x0，－1.设M(0，y1)，令MP·MQ＝0对满足y0＝14x20(x0≠0)的x0，y0恒成立．由于MP＝(x0，y0－y1)，MQ＝x20－42x0，－1－y1，由MP·MQ＝0，得x20－42－y0－y0y1＋y1＋y21＝0，即(y21＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)由于(*)式对满足y0＝14x20(x0≠0)的y0恒成立，所以12111020,yyy，解得y1＝1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)．1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0.(1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．(2)若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据)(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为AB的倾斜角)．(3)S△AOB＝p22sinθ(θ为AB的倾斜角)．(4)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(5)以AB为直径的圆与准线相切．(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．(7)∠CFD＝90°.3．(2011·江西高考)已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．解：(1)直线AB的方程是y＝22x－p2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)；设OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[典例](2011·大纲全国卷)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.45B.35C．－35D．－45[解析]法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意得点F(1,0)，由2424yxyx消去y得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4.因此可令点A(1，－2)，B(4,4)，F(1,0)，∴|AB|＝35，|FA|＝2，|FB|＝5.∴在△FAB中，由余弦定理知，cos∠AFB＝－45.法二：由法一知A(1，－2)，B(4,4)，F(1,0)，∴FA＝(0，－2)，FB＝(3,4)，∵∠AFB可以看作向量FA、FB的夹角．∴cos∠AFB＝FA·FB|FA||FB|＝－45.[答案]D[题后悟道]等价转化思想在抛物线中应用广泛．除遇到焦点到抛物线上的点之间的距离问题使用定义转化外，有时线段的长度、角度等问题可转化为相应向量的模与夹角去处理，如典例法二将∠AFB转化为向量FA、FB夹角计算时较法一利用余弦定理简单，注意体会运用．针对训练(2013·重庆一诊)已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．解析：由抛物线的定义知，点P到点Q和点P到抛物线焦点的距离之和等于点P到点Q和点P到抛物线准线的距离之和，因为距离之和为最小，所以需从点Q向抛物线的准线引垂线，且满足P，Q两点在同一直线上，故点P坐标为14，－1.答案：14，－1教师备选题（给有能力的学生加餐）1．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定解题训练要高效见“课时跟踪检测（五十四）”解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的投影，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距离d＝12(|AA1|＋|BB1|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|＝半径，故相切．答案：C2．(2012·郑州模拟)已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.π6或5π6B.π4