2014届高三数学一轮复习-(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)9.6随机数与几何概型课件-新

[知识能否忆起]一、模拟方法对于某些无法确切知道概率的问题，常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验．二、几何概型1．向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的成正比，而与G的、无关，即P(点M落在G1)＝，则称这种模型为几何概型．面积形状位置G1的面积G的面积2．几何概型中的G也可以是或的有限区域，相应的概率是或．空间中直线上体积之比长度之比[小题能否全取]1．(2012·衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析：中奖的概率依次为P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13.答案：A2．(教材习题改编)在长为6m的木棒AB上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2m的概率是()A.14B.13C.12D.23解析：将木棒三等分，当P位于中间一段时，到两端A、B的距离大于2m，∴P＝26＝13.答案：B3.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为()A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析：设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P＝2π－44＝π－22.答案：B4．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是________．解析：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故P＝0.05.答案：0.055.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为60360＝16.答案：161.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型的常见类型在几何概型中，当基本事件只受一个连续的变量控制时，这类几何概型是线型的；当基本事件受两个连续的变量控制时，这类几何概型是面型的，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．[例1](2011·湖南高考)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．[自主解答](1)根据点到直线的距离公式得d＝255＝5；(2)设直线4x＋3y＝c到圆心的距离为3，则|c|5＝3，取c＝15，则直线4x＋3y＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x＋3y＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.[答案]516本例条件变为：“已知圆C：x2＋y2＝12，设M为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN.”求弦MN的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O作OM⊥直径CD.则MD＝MC＝26.当N点不在半圆弧CMD上时，MN＞26.所以P(A)＝π×232π×23＝12.求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键．1．(1)(2012·福建四校联考)已知A是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A′，则AA′的长度小于半径的概率为________．(2)(2012·鞍山模拟)某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率为________．解析：(1)如图，满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧BAC上，其中△ABO和△ACO为等边三角形，可知∠BOC＝2π3，故所求事件的概率P＝2π32π＝13.(2)设上辆车于时刻T1到达，而下辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长为6，记“等车时间不超过6分钟”为事件A，则事件A发生即当点t落在线段TT2上，所以P(A)＝610＝35.答案：(1)13(2)35[例2](1)(2012·湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A．1－2πB.12－1πC.2πD.1π(2)(2011·福建高考)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A.14B.13C.12D.23[自主解答](1)法一：设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝π4＋12×1×1－π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S2＝2.又因为S扇形OAB＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S3＝π－2.所以P＝π－2π＝1－2π.法二：连接AB，设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA＝2.由题意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，所以S空白＝S△OAB＝12×2×2＝2.又因为S扇形OAB＝14×π×22＝π，所以S阴影＝π－2.所以P＝S阴影S扇形OAB＝π－2π＝1－2π.(2)由题意知，该题考查几何概型，故P＝S△ABES矩形ABCD＝12AB·BCAB·BC＝12.[答案](1)A(2)C求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率．这类问题常与线性规划(理)定积分知识联系在一起．2．(2012·石家庄质检)如图，已知函数y＝sinx，x∈[－π，π]与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，若随机向圆O：x2＋y2＝π2内投入一米粒，则该米粒落在区域M内的概率是()A.4π2B.4π3C.2π2D.2π3解析：由题意得阴影部分面积S1＝2∫π0sinxdx＝2[(－cosx)|π0]＝2×2＝4，圆x2＋y2＝π2面积为S＝π3，则所求事件的概率P＝4π3.答案：B[例3](1)(2012·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.π12B．1－π12C.π6D．1－π6(2)一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为()A.18B.116C.127D.38[自主解答](1)点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球的外部．记点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)＝23－12×4π3×1323＝1－π12.(2)由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.[答案](1)B(2)C3．(2012·黑龙江五校联考)在体积为V的三棱锥S—ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S—APC的体积大于V3的概率是________．解析：如图，三棱锥S—ABC的高与三棱锥S—APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM、BN分别为△APC与△ABC的高，所以VS—APCVS—ABC＝S△APCS△ABC＝PMBN，又PMBN＝APAB，所以APAB＞13时，满足条件．设ADAB＝13，则P在BD上，所求的概率P＝BDBA＝23.答案：23[典例](2012·莆田质检)某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人，为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队抽6人．(1)求n的值；(2)抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．[解](1)由题意得6120＝20120＋120＋n，解得n＝160.(2)由已知0≤x≤1,0≤y≤1，点(x，y)在如图所示的正方形OABC内，由条件2x－y－1≤0，0≤x≤1，0≤y≤1，得到的区域为图中的阴影部分．由2x－y－1＝0，令y＝0得x＝12，令y＝1得x＝1.因此在x，y∈[0,1]时满足2x－y－1≤0的区域的面积S阴影＝12×1＋12×1＝34.设“该代表中奖”为事件N，则该代表中奖的概率P(N)＝341＝34.[题后悟道]本题主要通过结合图形分析，将所求事件的概率转化与化归为面积型的几何概型问题．解决本题第(2)问的关键是抓住在[0,1]内产生随机数x、y及是否满足2x－y－1≤0为中奖的条件，联系线性规划知识转化为几何概型，注意本题的易错点是忽视0≤x≤1,0≤y≤1这一基本条件．针对训练(2012·唐山摸底)一只海豚在长30米，宽20米的长方形水池中游弋，则“海豚嘴尖离岸边的距离超过2米”的概率为()A.2375B.5275C.2465D.2165解析：长方形水池的面积为30×20＝600(平方米)，“海豚嘴尖离岸边的距离超过2米”所构成的区域是长26米，宽16米的长方形，其面积为26×16＝416(平方米)，故所求事件的概率P＝416600＝5275.答案：B教师备选题（给有能力的学生加餐）1．(2012·厦门质检)已知P是△ABC所在平面内一点，PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()解题训练要高效见“课时跟踪检测（六十三）”A.14B.13C.23D.12解析：由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝S△PBCS△ABC＝12.答案：D2．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根的概率为________．解析：由题意得Δ＝4a2－4b2≥0，∵a，b∈[0,1]，∴a≥b.∴0≤a≤1，0≤b≤1，a≥b，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案：123．已知集合A＝[－2,2]，B＝[－1,1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于22的概率．解：(1)集合M内的点形成的区域面积S＝8.因x2＋y2＝1的面积S1＝π，故所求概率为P1＝S1S＝π8.(2)由题意|x＋y|2≤22即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分，面积S2＝4，所求概率为P＝S2S＝12.