【金版学案】2015-2016学年高中数学-1.2.2同角三角函数关系课件-苏教版必修4

1．2.2同角三角函数关系学习目标预习导学典例精析栏目链接1．理解同角三角函数的基本关系．2．掌握同角三角函数的基本关系的公式．3．应用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例剖析利用关系式求三角函数值已知sinα＝22，且α是第二象限角，求cosα，tanα.解析：∵sinα＝22，且α是第二象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－222＝－1－12＝－22.tanα＝sinαcosα＝－1.变式训练1．已知sinα－cosα＝－55，180°＜α＜270°，求tanα的值．分析：sinα－cosα＝－55与sin2α＋cos2α＝1联立可解出sinα与cosα，通过180°＜α＜270°，舍去不合条件的一组，从而求出tanα.解析：依题意和基本关系式，得到方程组：sinα－cosα＝－55，sin2α＋cos2α＝1.消去sinα，得5cos2α－5cosα－2＝0.由方程解得cosα＝255或cosα＝－55.∵180°＜α＜270°，cosα＜0，∴cosα＝－55.代入原方程组，得sinα＝－255，∴tanα＝sinαcosα＝2.已知tanα＝－2，求4sinα－2cosα5cosα＋3sinα的值．分析：利用商数关系，化切为弦或化弦为切求解．解析：方法一由tanα＝－2，得sinα＝－2cosα，∴4sinα－2cosα5cosα＋3sinα＝－8cosα－2cosα5cosα－6cosα＝10.学习目标预习导学典例精析栏目链接方法二∵tanα＝－2，∴cosα≠0.∴4sinα－2cosα5cosα＋3sinα＝4tanα－25＋3tanα＝4×（－2）－25＋3×（－2）＝10.方法指导：方法一是常规方法：方法二是将关于sinα、cosα的齐次式分子、分母同除以cosα，从而将式子化成关于tanα的式子，方法简单．同时应结合“1”的代换使用，如“1＝sin2α＋cos2α”等．学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练2．已知tanα＝－12，求3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α的值．解析：∵tanα＝－12，∴3sin2α＋3sinαcosα－2cos2α＝3sin2α＋3sinαcosα－2cos2αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋3tanα－2tan2α＋1＝34－32－214＋1＝－115.学习目标预习导学典例精析栏目链接利用关系式化简三角函数化简：(1)sinθ－cosθtanθ－1；(2)1－2sin40°·cos40°cos40°－1－sin250°.分析：第(1)题可采用切化弦的化简方法，第(2)题重视平方关系的使用．解析：(1)原式＝sinθ－cosθsinθcosθ－1＝sinθ－cosθsinθ－cosθcosθ＝cosθ.学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)原式＝sin240°＋cos240°－2sin40°·cos40°cos40°－|cos50°|＝（cos40°－sin40°）2cos40°－cos50°＝cos40°－sin40°cos40°－sin40°＝1.学习目标预习导学典例精析栏目链接◎规律总结：(1)化简结果的一般要求如下：①函数种类少；②式子项数少；③项的次数低；④尽量使分母或根号内不含三角函数式；⑤尽可能求出数值(但不能查表)．(2)以后我们学习的知识丰富了，化简的方法也就增加了，到那时，化简应从“角、名、形、幂”四方面着手进行突破，逐步化简．学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练3．化简下列各式：(1)1cos2α1＋tan2α－1＋sinα1－sinα(α为第二象限角)；(2)1－2sinαcosαcos2α－sin2α·1＋2sinαcosα1－2sin2α.学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)∵α为第二象限角，∴原式＝1cos2αsin2α＋cos2αcos2α－（1＋sinα）2cos2α＝1cos2α·1－cosα－1＋sinα－cosα＝－1＋1＋sinαcosα＝tanα；(2)原式＝sin2α＋cos2α－2sinαcosαcos2α－sin2α·sin2α＋cos2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α－2sin2α＝（sinα－cosα）2（cosα－sinα）（cosα＋sinα）·（sinα＋cosα）2（cosα－sinα）（cosα＋sinα）＝1.学习目标预习导学典例精析栏目链接利用三角函数关系证明三角恒等式求证：1－2sinxcosxcos2x－sin2x＝1－tanx1＋tanx.分析：其一，从右端向左端变形，化切为弦，减少函数的种类．其二，由1－2sinxcosx＝(cosx－sinx)2，可进行约分，达到化简的目的．学习目标预习导学典例精析栏目链接证明：方法一∵右边＝1－sinxcosx1＋sinxcosx＝cosx－sinxcosx＋sinx＝（cosx－sinx）2（cosx＋sinx）（cosx－sinx）＝cos2x－2sinxcosx＋sin2xcos2x－sin2x＝1－2sinxcosxcos2x－sin2x＝左边．∴原等式成立．学习目标预习导学典例精析栏目链接方法二∵左边＝cos2x＋sin2x－2sinxcosxcos2x－sin2x＝（cosx－sinx）2（cosx＋sinx）（cosx－sinx）＝cosx－sinxcosx＋sinx＝1－tanx1＋tanx＝右边．∴原等式成立．方法指导：此例是恒等式的证明，与代数中所不同的是，此为三角恒等式，但证明方法是一致的，与代数中证明恒等式的方法是相同的．证明恒等式的常用方法是：(1)从左⇒右，由繁到简，“奔目标”，向目标靠拢；(2)从右⇒左，由繁到简，“奔目标”，向目标靠拢；(3)证“左－右＝0”；(4)证左、右两边都等于第三式；(5)分析法．学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练4．求证：tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α.证明：方法一(切化弦，化差为积)左边＝sin2αcos2α－sin2α＝sin2α－sin2αcos2αcos2α＝sin2α·sin2αcos2α＝tan2α·sin2α＝右边．学习目标预习导学典例精析栏目链接方法二(化sinα为tanα·cosα)左边＝tan2α－tan2α·cos2α＝tan2α(1－cos2α)＝tan2α·sin2α＝右边．方法三(作差法)tan2α－sin2α－tan2α·sin2α＝tan2α(1－sin2α)－sin2α＝tan2α·cos2α－sin2α＝0.方法四(分析法)要证tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α，即证tan2α－tan2α·sin2α＝sin2α，即证tan2α·cos2α＝sin2α，即证sin2α＝sin2α，而上式显然成立，所以原式成立．