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当前位置:首页 > 临时分类 > 高考数学第2讲圆锥曲线的方程与性质
第2讲圆锥曲线的方程与性质高考定位1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题.2.直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化、化归与分类讨论思想方法的考查.真题感悟1.(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.9解析设A(x,y),由抛物线的定义知,点A到准线的距离为12,即x+p2=12.又因为点A到y轴的距离为9,即x=9,所以9+p2=12,解得p=6.故选C.答案C2.(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为()A.14,0B.12,0C.(1,0)D.(2,0)解析将x=2与抛物线方程y2=2px联立,可得y=±2p,不妨设D(2,2p),E(2,-2p),由OD⊥OE,可得OD→·OE→=4-4p=0,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x.其焦点坐标为12,0.故选B.答案B3.(2020·全国Ⅰ卷)设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为()A.72B.3C.52D.2解析法一由题知a=1,b=3,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),如图,因为|OF1|=|OF2|=|OP|=2,所以点P在以F1F2为直径的圆上,故PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,所以|PF1||PF2|=6,所以△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|=3.故选B.答案B法二由双曲线的方程可知,双曲线的焦点F1,F2在x轴上,且|F1F2|=21+3=4.设点P的坐标为(x0,y0),则x20-y203=1,x20+y20=2,解得|y0|=32.所以△PF1F2的面积为12|F1F2|·|y0|=12×4×32=3.故选B.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.4.(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.解(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a2-b2.不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3×ca=2-2ca2.解得ca=-2(舍去)或ca=12.所以C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.设M(x0,y0),则x204c2+y203c2=1,y20=4cx0,故x204c2+4x03c=1.①因为C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,又|MF|=5,故x0=5-c,代入①得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y2=12x.考点整合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|);(2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|);(3)抛物线:|MF|=d(d为M点到准线的距离).温馨提醒应用圆锥曲线定义解题时,易忽视定义中隐含条件导致错误.2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(焦点在x轴上)或y2a2+x2b2=1(a>b>0)(焦点在y轴上);(2)双曲线:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)(焦点在x轴上)或y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)(焦点在y轴上);(3)抛物线:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系①在椭圆中:a2=b2+c2;离心率为e=ca=1-b2a2.②在双曲线中:c2=a2+b2;离心率为e=ca=1+b2a2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=±bax;焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0).②双曲线y2a2-x2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=±abx,焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y2=2px(p0)的焦点Fp2,0,准线方程x=-p2.②抛物线x2=2py(p0)的焦点F0,p2,准线方程y=-p2.4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦设而不求,利用根与系数的关系,进行整体代入.即当斜率为k,直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+1k2(y1+y2)2-4y1y2.(2)过抛物线焦点的弦抛物线y2=2px(p0)过焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=p24,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.热点一圆锥曲线的定义及标准方程【例1】(1)(2020·浙江卷)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=34-x2图象上的点,则|OP|=()A.222B.4105C.7D.10(2)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=1解析(1)由|PA|-|PB|=2<|AB|=4,得点P的轨迹是双曲线的右支.又a=1,c=2,知b2=c2-a2=3.故点P的轨迹方程为x2-y23=1(x≥1)①,由于y=34-x2②,联立①②,得x2=134,y2=274,故|OP|=x2+y2=10.(2)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆定义,4m=2a,得m=a2,故|F2A|=|F1A|=a,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图,不妨设A(0,-b),依题意,AF2→=2F2B→,得B32,b2.由点B在椭圆上,得94a2+b24b2=1,得a2=3,b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为x23+y22=1.答案(1)D(2)B探究提高1.两题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程,另外注意焦点在不同的坐标轴上,椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,就是指确定类型,所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值,最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】(1)(2020·天津卷)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为()A.x24-y24=1B.x2-y24=1C.x24-y2=1D.x2-y2=1(2)(2020·长郡中学检测)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,66)x0>p2是抛物线上一点,以M为圆心的圆与直线x=p2交于A,B两点(A在B的上方),若sin∠MFA=57,则此抛物线的方程为________.解析(1)由y2=4x,知焦点坐标为(1,0),则过点(1,0)和点(0,b)的直线方程为x+yb=1.易知x2a2-y2b2=1的渐近线方程为xa+yb=0和xa-yb=0.由l与一条渐近线平行,与一条渐近线垂直,得a=1,b=1.故双曲线C的方程为x2-y2=1.(2)如图所示,过M点作CM⊥AF,垂足为C,交准线于D,∴sin∠MFA=57=|MC||MF|.由抛物线定义|MF|=|MD|=x0+p2,∴|MC||MF|=x0-p2x0+p2=57,得x0=3p.∵点M(x0,66)x0>p2是抛物线上一点,∴(66)2=2px0,36×6=6p2,∴p=6,∴y2=12x.答案(1)D(2)y2=12x热点二圆锥曲线的几何性质【例2】(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为________.(2)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A→=AB→,F1B→·F2B→=0,则C的离心率为________.解析(1)设B(c,yB),因为B为双曲线C:x2a2-y2b2=1上的点,所以c2a2-y2Bb2=1,所以y2B=b4a2,则yB=b2a.因为AB的斜率为3,所以b2ac-a=3,则b2=3ac-3a2.所以c2-a2=3ac-3a2,所以c2-3ac+2a2=0,解得c=a(舍去)或c=2a.所以C的离心率e=ca=2.(2)因为F1B→·F2B→=0,所以F1B⊥F2B,如图.所以|OF1|=|OB|,所以∠BF1O=∠F1BO,所以∠BOF2=2∠BF1O.因为F1A→=AB→,所以点A为F1B的中点,又点O为F1F2的中点,所以OA∥BF2,所以F1B⊥OA.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,所以tan∠BF1O=1tan∠AOF1=ab,tan∠BOF2=ba.因为tan∠BOF2=tan(2∠BF1O),所以ba=2×ab1-ab2,所以b2=3a2,所以c2-a2=3a2,即2a=c.所以双曲线的离心率e=ca=2.答案(1)2(2)2探究提高1.第(1)题的易错点有两处:一是忽视题眼“AB的斜率为3”,由y2B=b4a2得yB=±b2a;二是将双曲线中a,b,c的关系式与椭圆中a,b,c的关系式搞混.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是确立一个关于a,b,c的等量关系或不等关系,然后用a,c代换b,进而求ca的值.3.求双曲线渐近线方程的关键在于求ba或ab的值,也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到.【训练2】(1)(多选题)(2020·青岛统测)已知椭圆Ω:x2a2+y2b2=1(ab0),则下列结论正确的是()A.若a=2b,则椭圆Ω的离心率为22B.若椭圆Ω的离心率为12,则ba=32C.若点F1,F2分别为椭圆Ω的左、右焦点,直线l过点F1且与椭圆Ω交于A,B两点,则△ABF2的周长为4aD.若点A1,A2分别为椭圆Ω的左、右顶点,点P为椭圆Ω上异于点A1,A2的任意一点,则直线PA1,PA2的斜率之积为-b2a2(2)(多选题)(2020·德州质检)双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在双曲线C的一条渐近线上,O为坐标原点,则下列说法正确的是()A.双曲线C的离心率为62B.双曲线y24-x28=1与双曲线C的渐近线相同C.若PO⊥PF,则△PFO的面积为2D.|PF|的最小值为2解析(1)若a=2b,则c=3b,所以e=32,A不正确;若e=12,则a=2c,b=3c,所以ba=3
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