高考数学第3讲圆锥曲线中的热点问题

第3讲圆锥曲线中的热点问题高考定位1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法的考查.真题感悟A.4B.8C.16D.321.(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()答案B解析由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±bax.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝12×a×|DE|＝12×a×2b＝ab＝8，则c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝22时等号成立，∴c≥4.故曲线C的焦距2c的最小值为8.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.2.(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B分别为椭圆E：x2a2＋y2＝1(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG→·GB→＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)解由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1).则AG→＝(a，1)，GB→＝(a，－1).由AG→·GB→＝8，得a2－1＝8，解得a＝3或a＝－3(舍去).所以椭圆E的方程为x29＋y2＝1.(2)证明设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t).若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3n3.易知直线PA的方程为y＝t9(x＋3)，所以y1＝t9(x1＋3).易知直线PB的方程为y＝t3(x－3)，所以y2＝t3(x2－3).可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3).①由于x229＋y22＝1，故y22＝－（x2＋3）（x2－3）9，②由①②可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，结合x＝my＋n，得(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.③代入③式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0，将x＝my＋n代入x29＋y2＝1，得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.所以y1＋y2＝－2mnm2＋9，y1y2＝n2－9m2＋9.解得n＝－3(舍去)或n＝32.故直线CD的方程为x＝my＋32，即直线CD过定点32，0.若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点32，0.综上，直线CD过定点32，0.(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.3.(2020·新高考山东卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且过点A(2，1).(1)解由题设得4a2＋1b2＝1,a2－b2a2＝12，解得a2＝6，b2＝3.所以C的方程为x26＋y23＝1.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2).若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入x26＋y23＝1，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.于是x1＋x2＝－4km1＋2k2，x1x2＝2m2－61＋2k2.①由AM⊥AN，得AM→·AN→＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.因为A(2，1)不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1.将①代入上式，可得(k2＋1)2m2－61＋2k2－(km－k－2)4km1＋2k2＋(m－1)2＋4＝0，所以直线MN的方程为y＝kx－23－13(k≠1).所以直线MN过点P23，－13.若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1).由AM→·AN→＝0，得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.又x216＋y213＝1，所以3x21－8x1＋4＝0.解得x1＝2(舍去)，或x1＝23.此时直线MN过点P23，－13.令Q为AP的中点，即Q43，13.若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|＝12|AP|＝223.若D与P重合，则|DQ|＝12|AP|.综上，存在点Q43，13，使得|DQ|为定值.考点整合1.圆锥曲线常考查的几何量(1)直线方程：会用点斜式或斜截式设直线方程；(2)线段长、面积：三角形、四边形的面积中蕴含着线段长、点到直线的距离公式；(3)斜率公式、共线点的坐标关系：由两点坐标会表示出对应的直线斜率，共线点的横坐标或纵坐标也满足比例关系；(4)平面图形的几何性质：平行四边形、菱形等图形中的几何性质，如垂直、平行、平分、中点关系；(5)向量关系的转化：会把向量关系转化为对应点，如坐标关系.2.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的值域、最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.3.圆锥曲线中的定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.4.圆锥曲线中的存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.(3)下结论.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线.(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值.热点一圆锥曲线中的最值、范围问题角度1求线段长度、三角形面积的最值【例1】已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－12.记M的轨迹为曲线C.(1)解由题设得yx＋2·yx－2＝－12，化简得x24＋y22＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左、右顶点.(2)①证明设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k0).由y＝kx，x24＋y22＝1得x＝±21＋2k2.设u＝21＋2k2，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0).于是直线QG的斜率为k2，方程为y＝k2(x－u).由y＝k2（x－u），x24＋y22＝1，得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，故xG＝u（3k2＋2）2＋k2，由此得yG＝uk32＋k2.从而直线PG的斜率为uk32＋k2－uku（3k2＋2）2＋k2－u＝－1k.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形.②解由①得|PQ|＝2u1＋k2，|PG|＝2ukk2＋12＋k2，所以△PQG的面积S＝12|PQ||PG|＝8k（1＋k2）（1＋2k2）（2＋k2）＝81k＋k1＋21k＋k2.设t＝k＋1k，则由k0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号.因为S＝8t1＋2t2在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为169.因此，△PQG面积的最大值为169.探究提高求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，列出含参数的函数式；可利用求函数值域(最值)或基本不等式、换元法、导数法，利用已知或隐含的参数范围求最值、范围.特别是分式形式时，会用换元法将复杂化为简单.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围.角度2求几何量、某个参数的取值范围【例2】(2020·江西六校联考)已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，中心在原点.若右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3.解(1)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2＝1(a1)，则右焦点F(a2－1，0)，由题设|a2－1＋22|2＝3，解得a2＝3.∴所求椭圆的方程为x23＋y2＝1.(2)设P(xP，yP)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，P为弦MN的中点，由y＝kx＋m，x23＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，∵直线与椭圆相交，∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)0⇒m23k2＋1.①∴xP＝xM＋xN2＝－3mk3k2＋1，从而yP＝kxP＋m＝m3k2＋1，∴kAP＝yP＋1xP＝－m＋3k2＋13mk，又∵|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，则－m＋3k2＋13mk＝－1k，即2m＝3k2＋1.②把②代入①，得m22m，解得0m2；由②得k2＝2m－130，解得m12.综上，求得m的取值范围是12，2.探究提高解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【训练1】(2020·贵阳诊断)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的任意一点M到直线y＝－1的距离比M点到点F(0，2)的距离小1.(1)求动点M的轨迹C1的方程；(2)若点P是圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上一动点，过点P作曲线C1的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB斜率的取值范围.法二由题意知M到直线y＝－2的距离等于M到F(0，2)的距离，由抛物线定义得动点M的轨迹方程为x2＝8y.解(1)法一设点M(x，y)，∵点M到直线y＝－1的距离等于|y＋1|，∴|y＋1|＝x2＋（y－2）2－1，化简得x2＝8y，∴动点M的轨迹C1的方程为x2＝8y.(2)由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k1，k2，切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点P(m，n)，过点P的抛物线的切线方程为y＝k(x－m)＋n，联立y＝k（x－m）＋n，x2＝8y得x2－8kx＋8km－8n＝0，∵Δ＝64k2－32km＋32n＝0，即2k2－km＋n＝0，∴k1＋k2＝m2，k1k2＝n2.由x2＝8y，得y′＝x4，∴x1＝4k1，y1＝x218＝2k21，x2＝4k2，y2＝x228＝2k22，∴kAB＝y2－y1x2－x1＝2k22－2k214k2－4k1＝k2＋k12＝m4，∵点P(m，n)满足(x－2)2＋(y＋2)2＝1，∴1≤m≤3，∴14≤m4≤34，即直线AB斜率的取值范围为14，34.热点二圆锥曲线中定值、定点问题角度1圆锥曲线中的定值【例3】(2020·广州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p0)经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(