等比数列的性质-PPT课件

•等比数列的性质•1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质的由来．•2.理解等比数列的性质并能应用．•3.掌握等比数列的性质并能综合运用.•1.对等比数列性质的考查是本课时的热点．•2.本课时内容常与等差数列、函数、不等式结合命题．•3.多以选择题和填空题的形式考查.•等差数列的常用性质性质1通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m、n∈N*)性质2若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an性质3若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1，a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…性质4若{an}、{bn}分别是以d1、d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列性质5若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k、m∈N*)组成公差为md的等差数列•等比数列的常用性质性质1通项公式的推广：an＝am·(n，m∈N*)性质2若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝性质3性质4在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…性质5在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列qn－mam·an若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{an2}，{an·bn}，anbn仍是等比数列•1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是()•A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列•C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列•答案：B解析：设新数列为{bn}，{bn}的通项公式为bn＝anan＋1.所以an＋1an＋2anan＋1＝an＋2an＝q2，数列{bn}是公比为q2的等比数列．•2．已知{an}是等比数列，且an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，那么a3＋a5的值等于()•A．6B．10•C．15D．20•解析：由题意知：a2a4＝a32，a4a6＝a52•∴a32＋2a3a5＋a52＝36，即(a3＋a5)2＝36，•∴a3＋a5＝6，故选6.•答案：A•3．在等比数列{an}中，a1·a9＝256，a4＋a6＝40，则公比q＝________.解析：根据a1·a9＝a4·a6，列方程组a4＋a6＝40，a4·a6＝256.解得a4＝32，a6＝8，或a4＝8，a6＝32.∴q2＝a6a4＝832＝14或q2＝328＝4.∴q＝±12或q＝±2.答案：±12或±2•4．已知数列{an}为等比数列，若a1＋a2＋a3＝7，a1·a2·a3＝8，求数列{an}的通项公式．解析：∵a22＝a1a3，代入已知，得a23＝8，∴a2＝2.设前三项为2q，2,2q，则有2q＋2＋2q＝7.整理，得2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝12.∴a1＝1，q＝2，或a1＝4，q＝12.an＝2n－1或an＝4·12n－1.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1·a2·a3＝5，a7·a8·a9＝10，则a4·a5·a6＝()A．52B．7C．6D．42•答案：A•[题后感悟]有关等比数列的计算问题，要灵活应用等比数列的性质，以减少运算量．[解题过程]a1·a2·a3＝a23＝5a7·a8·a9＝a83＝10a4·a5·a6＝a53又∵a52＝a2·a8，∴a53＝(a2·a8)32∴a4·a5·a6＝(a23a83)12＝(5×10)12＝52.故选A.•1.(1)等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之积为________．•(2)在等比数列中，若a2＝2，a6＝162，则a10＝________.•(3)在等比数列{an}中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值是________．解析：(1)由题意得a1a2a3…a15a16a17＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)…a9＝a917＝(－2)17＝－217.(2)∵{an}成等比数列，∴a2，a6，a10仍成等比数列，∴a62＝a2a10，∴a10＝a62a2＝16222＝13122.(3)∵{an}成等比数列，∴a3·a4·a5，a6·a7·a8，a9·a10·a11仍成等比数列，此数列公式q＝a6a7a8a3a4a5＝243＝8，a9a10a11＝(a6a7a8)·q＝24×8＝192.答案：(1)－217(2)13122(3)192•有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．•由题目可获取以下主要信息：•①四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列．•②第一个与第四个数的和为21，中间两数和为18.解答本题由前三个数成等比数列，可设这三个数为aq，a，aq(q≠0)；由后三个数成等差数列，可设后三个数为a－d，a，a＋d；由第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，可设第一个数为a，则第四个数为21－a，设第二个数为b，则第三个数为18－b.[解题过程]方法一：设前三个数分别为aq，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a，由题意得aq＋2aq－a＝21a＋aq＝18，解得q＝2或q＝35，当q＝2时，a＝6，这四个数为3,6,12,18；当q＝35时，a＝454，这四个数为754，454，274，94.方法二：设后三个数为a－d，a，a＋d，则第一个数为a－d2a，因此这四个数为a－d2a，a－d，a，a＋d.由题意得a－d2a＋a＋d＝21a－d＋a＝18，解得a＝12d＝6或a＝274d＝－92，∴这四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.•方法三：设第一个数为a，则第四个数为21－a，设第二个数为b，则第三个数为18－b，则这四个数为a，b,18－b,21－a，由题意得a18－b＝b2b＋21－a＝218－b，解得a＝3b＝6或a＝754b＝454，∴这四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.[题后感悟]合理地设出所求数中的三个，根据题意得出另一个是解决这类问题的关键．一般来说，三个数成等比数列时可设aq，a，aq；三个数成等差数列时可设a－d，a，a＋d；四个数成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，但当四个数成等比数列时，不能设成aq3，aq，aq，aq3，这样隐含了公比q20这一条件，可能会产生失根．•2.若条件改为：已知四个数，前3个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两个数之积为16，首尾两数之积为－128，则如何求这四个数？解析：依题意设后三个数为aq，a，aq，又∵前三个数成等差数列，∴第一个数为2aq－a，则由已知得：aq·a＝16①2aq－a·aq＝－128②由①得a2＝16q③由②得a22q－1·q＝－128.将③代入得：q2－2q－8＝0，∴q＝4或q＝－2.又a2＝16q，∴q0，∴q＝4，∴a＝±8.当a＝8时，所求四个数分别为：－4,2,8,32.当a＝－8时，所求四个数分别为：4，－2，－8，－32.•某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底•(1)该市历年所建中低价房的累计面积•(以2009年为累计的第一年)将首次不•少于4750万平方米？•(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.•本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通过阅读之后，找出题目中的相关信息，构造等差数列和等比数列．[规范作答](1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋nn－12×50＝25n2＋225n，令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，解得n≤－19或n≥10，而n是正整数．∴n≥10.4分故到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.6分•(2)设新建住房面积构成数列{bn}，•由题意可知，{bn}是等比数列，•其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1，•由题意可知an0.85bn，•即250＋(n－1)×50400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式的最小正整数n＝6.10分•故到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.12分•[题后感悟]本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算．不要在运算中出现问题．•3.2009年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%.•(1)求哪一年两林场木材的总存量相等？•(2)问两林场木材的总量到2013年能否翻一番？解析：(1)由题意可得16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1，解得n＝2，故到2011年两林场木材的总存量相等．(2)令n＝5，则a5＝16a544＋25a4542(16a＋25a)，故到2013年不能翻一番．•1．等比数列的“子数列”是否成等比数列？•若数列{an}是公比为q的等比数列，则•(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列；•(2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列；•偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列；•(3)若{kn}成等差数列且公差为d，则{akn}是公比为qd的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列．•2．等比数列与等差数列的区别与联系等差数列等比数列(1)强调每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一.(1)强调每一项与前一项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值．(1)都强调每一项与前一项的关系；(2)结果都必须是常数；(3)数列都可以由a1、d或a1、q确定．(1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列；(2){an}为等差数列{bn}为等比数列，则{ban}为等比数列.不同点相同点联系•◎在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，试求a7.【错解】因为a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，所以a5＋a9＝187，a5·a9＝1.又因为a7是a5，a9的等比中项，所以a72＝a5·a9＝1，即a7＝±1.【错因】上述解法忽视了对a7符号的讨论，由于a5，a9均为正数且公比为q＝±a7a5＝±a9a7，所以不论q取正还是取负，a7始终与a5和a9符号相同．【正解】因为a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，所以a5＋a9＝187，a5·a9＝1.所以a50a90.又因为a7是a5，a9的等比中项，所以a72＝a5·a9＝1.由于a7＝a5·q2，故a7与a5同号，∴a7＝1.