高考数学-云师堂7.1

专题七概率与统计7.1排列、组合与二项式定理专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳考情分析-3-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理8)(2012全国,理2)(2013全国Ⅰ,理9)(2013全国Ⅱ,理5)(2014全国Ⅰ,理13)(2014全国Ⅱ,理13)(2015全国Ⅰ,理10)(2015全国Ⅱ,理15)选择题填空题从近五年高考试题来看,高考命题对排列、组合与二项式定理注重基础知识和基本解题方法、规律的考查,以及运算能力的考查.题目的难度基本都为中等或中等以下.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点有三个:一是利用计数原理、排列、组合知识进行计数;二是与概率问题的综合;三是求二项展开式中的某一项的二项式系数、各项系数和等.专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四两个计数原理的综合应用【思考】两个计数原理有什么区别,如何正确选择使用两个计数原理?例1如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色.如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.答案答案关闭以点S,A,B,C,D的顺序分步染色.第一步,点S染色,有5种方法;第二步,点A染色,与S在同一条棱上,有4种方法;第三步,点B染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方法;第四步,点C染色,但考虑到点D与S,A,C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类,当A与C同色时,点D有3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S,B也不同色,所以点C有2种染色方法,点D也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)=420种.专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-题后反思1.在分类加法计数原理中,每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是相互独立的,不能重复.即分类的标准是“不重不漏,一步完成”.2.在分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中任取一种方法,即是完成这个步骤的一种方法.3.应用两种原理解题要注意分清要完成的事情是什么,完成该事情是分类完成还是分步完成.分类的就应用分类加法计数原理,分步的就应用分步乘法计数原理;在综合应用两个原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类计数原理.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-对点训练1用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279答案解析解析关闭十个数排成不重复数字的三位数求解方法是:第1步,排百位数字,有9种方法(0不能作首位);第2步,排十位数字,有9种方法;第3步,排个位数字,有8种方法.根据乘法原理,共有9×9×8=648个没有重复数字的三位数.因为可以组成三位数的个数为9×10×10=900,所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252.答案解析关闭B命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-排列与组合问题【思考】解决排列与组合问题的基本方法有哪些?例2(2015四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个答案解析解析关闭当首位数字为4,个位数字为0或2时,满足条件的五位数有C21A43个;当首位数字为5,个位数字为0或2或4时,满足条件的五位数有C31A43个.故满足条件的五位数共有C21A43+C31A43=(2+3)A43=5×4×3×2×1=120个.故选B.答案解析关闭B命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-题后反思解决排列组合问题的基本方法有:(1)相邻问题捆绑法;(2)不相邻问题插空法;(3)多排问题单排法;(4)定序问题倍缩法;(5)多元问题分类法;(6)有序分配问题分步法;(7)交叉问题集合法;(8)至少或至多问题间接法;(9)选排问题先选后排法;(10)局部与整体问题排除法;(11)复杂问题转化法.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-对点训练25名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法种数为()A.150B.180C.200D.280答案解析解析关闭先将5名毕业生分成3组,有C53+C52C32A22=25种不同的分组方式,再分配到3个班去,则共有C53+C52C32A22A33=25×6=150种不同的分派方法.故选A.答案解析关闭A命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-二项展开式通项的应用【思考】如何求二项展开式中的指定项?例3(2015全国Ⅰ高考)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60答案解析解析关闭解法一:由于(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,其展开式的通项为Tr+1=C5𝑟(x2+x)5-ryr(r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T3=C52(x2+x)3y2中才能含有x5y2项.设(x2+x)3的展开式的通项为Si+1=C3𝑖(x2)3-i·xi=C3𝑖x6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x2+x)3的展开式中含x5项的系数是C31=3,故(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数是C52·3=10×3=30.解法二:因(x2+x+y)5为5个因式(x2+x+y)之积,所以x5y2的系数为C52·C31·C22=30.答案解析关闭C命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-题后反思求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行化简,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数r+1,代回通项公式即可.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-对点训练3(2015陕西西北工大附中二模)若二项式55𝑥2+1𝑥6的展开式中的常数项为m,则𝑚1(x2-2x)dx=()A.13B.-13C.23D.-23答案解析解析关闭二项式55𝑥2+1𝑥6的展开式的通项为Tr+1=C6𝑟55𝑥26-𝑟1𝑥𝑟,即Tr+1=C6𝑟556-𝑟x12-3r,当12-3r=0,即r=4时是常数项,则m=15×15=3,则𝑚1(x2-2x)dx=31(x2-2x)dx=𝑥33-𝑥2|13=23.答案解析关闭C命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-二项式系数的性质与各项系数和【思考】如何求二项展开式中各项系数的和?例4(1)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an=63,则展开式中系数最大的项是()A.15x2B.20x3C.21x3D.35x3(2)若3𝑥-1x23m的展开式中二项式系数之和为128,则展开式中1x3的系数是.答案解析解析关闭(1)∵(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令x=0,得a0=1.令x=1,则(1+1)n=a0+a1+a2+…+an=64,∴n=6.又(1+x)6的展开式中,二项式系数最大项的系数最大,∴(1+x)6的展开式系数最大项为T4=C63x3=20x3.(2)∵2m=128,∴m=7,∴展开式的通项为Tr+1=C7𝑟(3x)7-r·-1𝑥23r=𝐶7r37-r(-1)rx7-53r,令7-53r=-3,解得r=6,∴1𝑥3的系数为C7637-6(-1)6=21.答案解析关闭(1)B(2)21命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-题后反思1.二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法,令a,b等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值.2.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=𝑓(1)+𝑓(-1)2,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=𝑓(1)-𝑓(-1)2.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-对点训练4(1)(2015全国Ⅱ高考)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.(2)若(1-2x)2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016(x∈R),则𝑎12+𝑎222+𝑎323+…+𝑎201622016的值为.答案解析解析关闭(1)解析一:∵(1+x)4=x4+C43x3+C42x2+C41x+C40x0=x4+4x3+6x2+4x+1,∴(a+x)(1+x)4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,∴a=3.解析二:设(a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5.令x=1,得16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5,①令x=-1,得0=b0-b1+b2-b3+b4-b5,②由①-②,得16(a+1)=2(b1+b3+b5).即8(a+1)=32,解得a=3.(2)解析:令x=0,得a0=(1-0)2016=1.令x=12,则a0+𝑎12+𝑎222+…+𝑎201622016=0,∴𝑎12+𝑎222+…+𝑎201622016=-1.答案解析关闭(1)3(2)-1命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳核心归纳-16-规律总结拓展演练1.排列问题与组合问题的识别方法:2.解决排列组合问题的四个角度:解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.(1)“分析”就是找出题目的条件、结论,哪些是“元素”,哪些是“位置”;(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限制等;(3)“分类”就是对于较复杂问题中的元素往往分成互斥的几类,然后逐类解决;(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤,而每一步都是简单的排列组合问题,然后逐步解决.名称识别方法排列若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,即排列问题与选取元素顺序有关组合若交换某两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,即组合问题与选取元素顺序无关专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳核心归纳-17-规律总结拓展演练3.应用通项公式要注意五点:(1)它表示二项展开式的任意项,只要n与r确定,该项就随之确定;(2)Tr+1是展开式中的第(r+1)项,而不是第r项;(3)公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置;(4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题;(5)对二项式(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.4.二项展开式系数最大的项的求法:求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第r项系数最大,应用𝐴𝑟≥𝐴𝑟-1,𝐴𝑟≥𝐴𝑟+1从而解出r来,即得展开式系数最大的项.专题七7.1排列、组合与二项式定理考情分析高频考点核心归纳核心归纳-18-规律总结拓展演练1.若(1+3)4=a+b3(a,b为有理数),则a+b=()