高考数学-云师堂4.2

4.2数列的通项与求和专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳考情分析-2-试题统计题型命题规律复习策略(2013全国Ⅰ,理12)(2013全国Ⅰ,理14)(2015全国Ⅰ,理17)选择题填空题解答题数列的通项与求和是高考中对数列考查的又一个重点,主要考查等差数列、等比数列的求和公式,以及通过变形转化为等差数列、等比数列的求和.数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起,考查内容较为全面,在考查基本运算、基本能力的基础上,又注意考查学生分析问题、解决问题的能力.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是:常见求数列通项的方法;非等差数列、非等比数列的求和问题中的倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳高频考点-3-命题热点一命题热点二命题热点三由数列的递推关系求通项【思考】由递推关系求数列的通项的常用的方法有哪些?例1根据下列条件,确定数列{an}的通项公式:(1)a1=2,𝑎𝑛+1=an+ln1+1𝑛;(2)a1=12,𝑎𝑛+1=𝑛𝑛+2an+1-𝑛𝑛+2;(3)a1=1,𝑎𝑛+1=3an+2.专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-解:(1)∵an+1=an+ln1+1𝑛,∴an-an-1=ln1+1𝑛-1=ln𝑛𝑛-1(n≥2),∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=ln𝑛𝑛-1+ln𝑛-1𝑛-2+…+ln32+ln2+2=2+ln𝑛𝑛-1·𝑛-1𝑛-2·…·32·2=2+lnn(n≥2).又a1=2适合上式,故an=2+lnn(n∈N*).命题热点一命题热点二命题热点三专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-(2)∵an+1=𝑛𝑛+2an+1-𝑛𝑛+2,∴an+1-1=𝑛𝑛+2(an-1),令bn=an-1,有b1=a1-1=-12,则bn+1=𝑛𝑛+2bn,取n=1,2,3,…,n-1,由累乘,得bn=13×24×35×…×𝑛-1𝑛+1×-12=-1𝑛(𝑛+1),an=1-1𝑛(𝑛+1).(3)由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1).∵a1=1,知a1+1=2,an+1≠0,∴𝑎𝑛+1+1𝑎𝑛+1=3.∴数列{an+1}是以2为首项,以3为公比的等比数列.则an+1=2·3n-1,故an=2·3n-1-1.命题热点一命题热点二命题热点三专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-题后反思由递推关系求数列的通项的基本思想是转化,常用的方法:(1)an+1-an=f(n)型,采用迭加法;(2)𝑎𝑛+1𝑎𝑛=f(n)型,采用迭乘法;(3)an+1=pan+q(p≠0,p≠1)型,转化为等比数列解决;(4)an+1=𝑝𝑎𝑛𝑝+𝑞𝑎𝑛(an≠0,p,q为非零常数)型,可用倒数法转化为等差数列解决.命题热点一命题热点二命题热点三专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-对点训练1根据下列条件,确定数列{an}的通项公式:(1)a1=1,𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛2+𝑎𝑛;(2)Sn=23an+13.答案答案关闭(1)∵a1=1,an+1=2𝑎𝑛2+𝑎𝑛,∴1𝑎𝑛+1=1𝑎𝑛+12.∴数列1𝑎𝑛是等差数列,其首项为1,公差为12,∴1𝑎𝑛=1+𝑛-12,∴an=2𝑛+1.(2)∵Sn=23an+13,①∴当n≥2时,Sn-1=23an-1+13.②由①-②,得an=23an-23an-1,即𝑎𝑛𝑎𝑛-1=-2.∵a1=S1=23a1+13,∴a1=1.∴{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列,an=(-2)𝑛-1.命题热点一命题热点二命题热点三专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-裂项相消法求和【思考】在裂项相消法中,裂项的基本思想是什么?例2(2015全国Ⅰ高考)Sn为数列{an}的前n项和.已知an0,𝑎𝑛2+2an=4Sn+3.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1,求数列{bn}的前n项和.答案答案关闭(1)由𝑎𝑛2+2an=4Sn+3,可知𝑎𝑛+12+2an+1=4Sn+1+3.可得𝑎𝑛+12−𝑎𝑛2+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=𝑎𝑛+12−𝑎𝑛2=(an+1+an)(an+1-an).由于an0,可得an+1-an=2.又𝑎12+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知bn=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1(2𝑛+1)(2𝑛+3)=1212𝑛+1-12𝑛+3.设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+…+bn=1213-15+15-17+…+12𝑛+1-12𝑛+3=𝑛3(2𝑛+3).命题热点一命题热点二命题热点三专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-题后反思裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an=bn+k-bn(k∈N*)的形式,从而达到在求和时绝大多数项相消的目的,在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合裂项相消的条件.命题热点一命题热点二命题热点三专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-对点训练2(2015浙江温州一模)已知数列{an}的前n项和Sn,且满足:1𝑎1-1+2𝑎2-1+3𝑎3-1+…+𝑛𝑎𝑛-1=n,n∈N*.(1)求an;(2)求证:1𝑆1+1𝑆2+…+1𝑆𝑛32.命题热点一命题热点二命题热点三专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-(1)解:当n=1时,1𝑎1-1=1,即a1=2,1𝑎1-1+2𝑎2-1+3𝑎3-1+…+𝑛𝑎𝑛-1=n.①当n≥2时,1𝑎1-1+2𝑎2-1+…+𝑛-1𝑎𝑛-1-1=n-1.②由①-②,得𝑛𝑎𝑛-1=1,即an=n+1(n≥2).∵a1=2也适合上式,∴an=n+1.(2)证明:(方法一)∵an-an-1=1,∴数列{an}是等差数列.∴Sn=(𝑎1+𝑎𝑛)𝑛2=(𝑛+3)𝑛2,1𝑆𝑛=2𝑛(𝑛+3)=231𝑛-1𝑛+3.命题热点一命题热点二命题热点三专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-∴1𝑆1+1𝑆2+…+1𝑆𝑛-1+1𝑆𝑛=2311-14+12-15+13-16+…+1𝑛-1𝑛+3=231+12+13-1𝑛+1+1𝑛+2+1𝑛+3231+12+13=11932.(方法二)∵an-an-1=1,∴数列{an}是等差数列.∴Sn=(𝑎1+𝑎𝑛)𝑛2=(𝑛+3)𝑛2,1𝑆𝑛=2𝑛(𝑛+3)2𝑛(𝑛+2)=1𝑛−1𝑛+2.∴1𝑆1+1𝑆2+…+1𝑆𝑛-1+1𝑆𝑛11-13+12-14+…+1𝑛-1-1𝑛+1+1𝑛-1𝑛+2=11+12+13+…+1𝑛−13+14+…+1𝑛+1+1𝑛+2=11+12−1𝑛+1+1𝑛+232.命题热点一命题热点二命题热点三专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-错位相减法求和【思考】具有什么特点的数列适合用错位相减法求和?例3(2015山东烟台一模)已知在等差数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn且满足条件:𝑆2𝑛𝑆𝑛=4𝑛+2𝑛+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}的前n项和为Tn,且有𝑇𝑛+1-𝑏𝑛+1𝑇𝑛+𝑏𝑛=1(n∈N*),b1=3,证明数列{bn-1}是等比数列;又cn=2𝑎𝑛+1𝑏𝑛-1,求数列{cn}的前n项和Wn.命题热点一命题热点二命题热点三专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-解:(1)因为𝑆2𝑛𝑆𝑛=4𝑛+2𝑛+1(n∈N*),所以当n=1时,𝑆2𝑆1=3,𝑎2+𝑎1𝑎1=3,结合a1=1,得a2=2.所以d=a2-a1=1,所以an=a1+(n-1)d=n,即an=n.(2)由𝑇𝑛+1-𝑏𝑛+1𝑇𝑛+𝑏𝑛=1可得Tn+1-bn+1=Tn+bn,所以Tn+1-Tn=2bn-1,bn+1=2bn-1,bn+1-1=2(bn-1).所以{bn-1}是等比数列且b1-1=2,公比q=2.所以bn-1=(b1-1)qn-1=2×2n-1=2n,所以bn=2n+1.命题热点一命题热点二命题热点三专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-所以cn=2𝑎𝑛+1𝑏𝑛-1=2𝑛+12𝑛=(2n+1)·12𝑛.所以Wn=c1+c2+c3+…+cn=3×12+5×122+7×123+…+(2n+1)×12𝑛,12Wn=3×122+5×123+7×124+…+(2n-1)12𝑛+(2n+1)12𝑛+1.两式相减,得12Wn=3×12+2122+123+…+12𝑛-(2n+1)12𝑛+1=32+1-12𝑛-1-(2n+1)12𝑛+1,所以Wn=5-2𝑛+52𝑛.命题热点一命题热点二命题热点三专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳高频考点-16-题后反思错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列;所谓“错位”,就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分等比数列的和,此时一定要查清其项数.命题热点一命题热点二命题热点三专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳高频考点-17-对点训练3等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为12,满足S3=15,a1+2b1=3,a2+4b2=6.(1)求数列{an},{bn}的通项an,bn;(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.答案答案关闭解:(1)设{an}的公差为d,所以𝑎1+𝑑=5,𝑎1+2𝑏1=3,𝑎1+𝑑+2𝑏1=6,解得a1=2,d=3,b1=12,所以an=3n-1,bn=12𝑛.(2)由(1)知,Tn=2×12+5×122+8×123+…+(3n-4)12𝑛-1+(3n-1)12𝑛,①由①×12,得12Tn=2×122+5×123+…+(3n-4)12𝑛+(3n-1)12𝑛+1,②由①-②,得12Tn=2×12+3×122+123+…+12𝑛-(3n-1)12𝑛+1=1+3×141-12𝑛-11-12-(3n-1)12𝑛+1,整理,得Tn=-(3n+5)12𝑛+5.命题热点一命题热点二命题热点三专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳核心归纳-18-规律总结拓展演练1.常见求数列通项的方法有:迭加法、迭乘法、构造等差数列、等比数列法、取倒数法,利用数列前n项和Sn与通项an之间的关系Sn-Sn-1=an(n≥2)进行递推、构造新数列等.2.非等差数列、非等比数列求和的常用方法:(1)倒序相加法:如果一个数列{an},首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的.(2)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.专题四4.2数列的通项与求和考情分析高频考点核心归纳核心归纳-19-规律总结拓展演练(4)分组求和法