高考数学-云师堂5.3

5.3立体集合中的向量方法专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳考情分析-2-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理18)(2012全国,理19)(2013全国Ⅰ,理18)(2013全国Ⅱ,理18)(2014全国Ⅰ,理19)(2014全国Ⅱ,理11)(2014全国Ⅱ,理18)(2015全国Ⅰ,理18)(2015全国Ⅱ,理19)选择题解答题求解立体几何问题是高考的必考内容,每套试卷必有立体几何解答题,一般设2至3问,2问的较多,前一问较简单,最后一问难度较大,而选用向量法可以降低解题难度,同时增加了计算量.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是利用向量知识证明空间的平行与垂直;利用向量知识求线线角、线面角、二面角的大小;利用向量知识求空间中的距离,以及利用向量知识解决立体几何中的探索性问题.专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-3-命题热点一命题热点二命题热点三用空间向量证明空间的平行与垂直【思考】如何用空间向量证明空间的平行与垂直?例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.(1)求证:BC1⊥AB1;(2)求证:BC1∥平面CA1D.专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-证明:如图,以C1为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由AC=BC=BB1,设AC=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).(1)因为𝐵𝐶1=(0,-2,-2),𝐴𝐵1=(-2,2,-2),所以𝐵𝐶1·𝐴𝐵1=0-4+4=0,因此𝐵𝐶1⊥𝐴𝐵1,故BC1⊥AB1.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-(2)证法一:由于𝐶𝐴1=(2,0,-2),𝐶𝐷=(1,1,0),若设𝐵𝐶1=x𝐶𝐴1+y𝐶𝐷,则得2𝑥+𝑦=0,𝑦=-2,-2𝑥=-2,解得𝑥=1,𝑦=-2,即𝐵𝐶1=𝐶𝐴1-2𝐶𝐷,所以𝐵𝐶1,𝐶𝐴1,𝐶𝐷是共面向量,又BC1⊄平面CA1D,因此BC1∥平面CA1D.证法二:设平面CA1D的法向量为n=(x,y,z),则𝑛·𝐶𝐴1=0,𝑛·𝐶𝐷=0,即(𝑥,𝑦,𝑧)·(2,0,-2)=0,(𝑥,𝑦,𝑧)·(1,1,0)=0,命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-∴2𝑥-2𝑧=0,𝑥+𝑦=0.不妨令x=1,则y=-1,z=1,∴n=(1,-1,1).∵𝐵𝐶1=(0,-2,-2),∴𝐵𝐶1·n=1×0+(-2)×(-1)+(-2)×1=0.∴𝐵𝐶1⊥n.又BC1在平面CA1D外,∴BC1∥平面CA1D.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-题后反思用向量方法证明空间线面位置关系的方法为:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为e1,e2,A,B,C分别为平面α内的相异且不共线的三点(其中l1与l2不重合,α与β不重合),则:(1)l1∥l2⇔a∥b⇔存在实数λ,使b=λa(a≠0);l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b=0.(2)l1⊥α⇔a∥e1⇔存在实数λ,使e1=λa(a≠0);l1∥α⇔a·e1=0⇔存在非零实数λ1,λ2,使a=λ1𝐴𝐵+λ2𝐴𝐶.(3)α∥β⇔e1∥e2⇔存在实数λ,使e2=λe1(e1≠0);α⊥β⇔e1⊥e2⇔e1·e2=0.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-对点训练1在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:(1)B1D⊥平面ABD;(2)平面EGF∥平面ABD.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-证明:(1)以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.则B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),设BA=a,则A(a,0,0),所以𝐵𝐴=(a,0,0),𝐵𝐷=(0,2,2),𝐵1𝐷=(0,2,-2),𝐵1𝐷·𝐵𝐴=0,𝐵1𝐷·𝐵𝐷=0+4-4=0,即B1D⊥BA,B1D⊥BD,又BA∩BD=B,因此B1D⊥平面ABD.(2)由(1)知,E(0,0,3),G𝑎2,1,4,F(0,1,4),则𝐸𝐺=𝑎2,1,1,𝐸𝐹=(0,1,1),𝐵1𝐷·𝐸𝐺=0+2-2=0,𝐵1𝐷·𝐸𝐹=0+2-2=0,即B1D⊥EG,B1D⊥EF,又EG∩EF=E,因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-利用向量求空间角【思考】如何用空间向量求空间角?例2(2015全国Ⅰ高考)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.(1)证明:平面AEC⊥平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-命题热点一命题热点二命题热点三解:(1)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由∠ABC=120°,可得AG=GC=3.由BE⊥平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE⊥EC,所以EG=3,且EG⊥AC.在Rt△EBG中,可得BE=2,故DF=22.在Rt△FDG中,可得FG=62.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=2,DF=22,可得EF=322.从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-命题热点一命题热点二命题热点三(2)如图,以G为坐标原点,分别以𝐺𝐵,𝐺𝐶的方向为x轴、y轴正方向,|𝐺𝐵|为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A(0,-3,0),E(1,0,2),F-1,0,22,C(0,3,0),所以𝐴𝐸=(1,3,2),𝐶𝐹=-1,-3,22.故cos𝐴𝐸,𝐶𝐹=𝐴𝐸·𝐶𝐹|𝐴𝐸||𝐶𝐹|=-33.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为33.专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-题后反思用向量求空间角的方法为:设直线l1,l2的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为n,m.(1)若异面直线l1与l2所成的角为θ,则cosθ=|𝑎·𝑏||𝑎||𝑏|.(2)若直线l1与平面α所成的角为θ,则sinθ=|𝑎·𝑛||𝑎||𝑛|.(3)若平面α与平面β所成的二面角为θ,则|cosθ|=|𝑛·𝑚||𝑛||𝑚|.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-对点训练2(2015山东高考)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-命题热点一命题热点二命题热点三证法一:连接DG,CD,设CD∩GF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OH∥BD,又OH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由AB=2DE,可知BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形.可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,AB∩BE=B,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-16-命题热点一命题热点二命题热点三(2)解法一:设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=12AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DG∥FC.又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,G是AC中点,所以AB=BC,GB⊥GC,因此GB,GC,GD两两垂直.专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-17-命题热点一命题热点二命题热点三以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1).可得H22,22,0,F(0,2,1),故𝐺𝐻=22,22,0,𝐺𝐹=(0,2,1).设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,则由𝑛·𝐺𝐻=0,𝑛·𝐺𝐹=0,可得𝑥+𝑦=0,2𝑦+𝑧=0.可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,2).因为𝐺𝐵是平面ACFD的一个法向量,𝐺𝐵=(2,0,0),所以cos𝐺𝐵,n=𝐺𝐵·𝑛|𝐺𝐵|·|𝑛|=222=12.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-18-命题热点一命题热点二命题热点三解法二:作HM⊥AC于点M,作MN⊥GF于点N,连接NH.由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC,又FC∩AC=C,所以HM⊥平面ACFD.因此GF⊥NH,所以∠MNH即为所求的角.在△BGC中,MH∥BG,MH=12BG=22,由△GNM∽△GCF,可得𝑀𝑁𝐹𝐶=𝐺𝑀𝐺𝐹,从而MN=66.由HM⊥平面ACFD,MN⊂平面ACFD,得HM⊥MN,因此tan∠MNH=𝐻𝑀𝑀𝑁=3,所以∠MNH=60°.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-19-用空间向量求空间距离【思考】如何用空间向量求空间距离?例3如图,四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是正方形,侧面PDC是边长为a的正三角形,且侧面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点.(1)求异面直线PA与DE所成角的余弦值;(2)求点D到平面PAB的距离.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.3立体集合中的向量方法考情分析高频考点核心归纳高频考点-20-解:如图,取DC的中点O,连接PO,∵△PDC为正三角形,∴PO⊥DC.又∵侧面PDC⊥底面ABCD,∴PO⊥底面ABCD.如图建立空间直角坐标系O-xyz.则P0,0,32𝑎,A𝑎,-𝑎2,0,B𝑎,𝑎2,0,C0,𝑎2,0,D0,-𝑎2,0.(1)∵E为PC的中点,∴E0,𝑎4,34𝑎,∴𝐷𝐸=0,34𝑎,34𝑎,𝑃𝐴=𝑎,-𝑎2,-32𝑎,命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.3立体集合中的向量