数学广角—数与形

数与形11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………2)1(nnan杨辉三角这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：杨辉中国南宋末年数学家、数学教育家。大约在13世纪中叶至后半叶活动于苏、杭一带。字谦光，钱塘（今杭州）人。其生卒年及生平无从详考。杨辉的数学著作甚多有《日用算法》、《杨辉算法》等。“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右.“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角．杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右.1.三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加2.杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离”的两个数相等3.每一行的第二个数就是这行的行数4.所有行的第二个数构成等差数列5.第n行包含n+1个数杨辉三角基本性质11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫找规律。今天我们就来一起走进奇妙无穷的数学广角------数与形观察一下，上面的图和下边的算式有什么关系？把算式补充完整。1=()21+3=()21+3+5=()2123左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数之和。右边正好是每行或每列小正方形个数的平方。11+3+5+7=（4）21+3+5+7+9+11+13=（7）2=921+3+5+7+9+11+13+15+17你能利用规律直接写一写吗？如有困难，可以画图①1+2+3+4+5=？②12+22+32+42+52=？③52-42+32-22+12=？④13+23+33+43+53=？下面的问题你能解答吗？（提示：画图找规律）①④②③（1）尝试计算。（2）提问：你能发现什么规律？一个一个加下去看看，答案好像有些规律。加下去，等号右边的分数越来越接近1。从第二个数开始，每个数是前一个数的。12可以画个图来帮助思考用一个圆或者一条线段表示“1”121418116从图上可以看出这些分数不断加下去，总和就是1.有些计算问题或者杂题通过画图，解决起来更直观。图形与数学之间能相互转化，能使计算更直观，更简单。由上题还可转换为3411=4211=8211=162…1=2r